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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 第1章 解三角形章末归纳提升 苏教版必修5 【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第1章 解三 角形章末归纳提升 苏教版必修 5 解三角形正弦 定理定理＝＝2R变 sin Asin Bsin C 形类型已知两角和一边，解三角形已知两边和其中一边的对角应用 举例测量问题平面几何问题航海问题余弦 定理定理a＝b＋c－2bccos A变形类型已知两边及夹角，解三角形已知三边，解三角形 2 2 2 abc 求出其它元素，常见类型及方法如下： 1 在△ABC中，a＝4，A＝60°，当b满足下列条件时，解三角形：(1)b432683＝；(2)b＝2＋(3)b＝；(4)b＝8. 333 【思路点拨】 审清已 知条件→判断解 题类型→选择正、 余弦定理→求解 b1【规范解答】 (1)∵a＞b，∴B为锐角，由正弦定理，sin Bsin A＝，∴B＝30°，a2 C＝90°，由正弦定理c＝ 2622＋3b36＋2(2)由正弦定理sin B＝·sin A＝×B为锐角时B＝75°，a42483·sin C＝sin A3a C＝45°.由正弦定理c＝46C＝，当B为钝角时B＝105°，C＝15°，由正弦sin A3a a26定理c·sin C＝22－sin A3 (3)法一 由正弦定理sin B＝·sin A＝1，∴B＝90°，C＝30°，由正弦定理c＝ 43·sin C＝sin A3 法二 设第三边长为c，由余弦定理a＝b＋c－2bccos A， 16＝c－，即c2－c＋0. 3333 43243∴(c－)＝0，∴c， 33222baa c1由正弦定理sin C＝A. a2 ∵a＞c，∴C为锐角，∴C＝30°，B＝90°. (4)由正弦定理sin BA＝ 3＞1，B无解，三角形无解． b a (1)在△ABC中，C＝45°，A＝60°，b＝2，求B及a，c的值； 2 (2)在△ABC中，a＝2，b＝22，c＝6＋2，求△ABC的三个内角． 【解】 (1)∵A＝60°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝180°－(60°＋45°)＝75°. abbsin A由正弦定理a＝＝32－6. sin Asin Bsin B6＋24 bbsin Cc2(3－1)． sin Csin Bsin B62 4c2232∵ b2＋c2－a22?2＋?6＋2?2－22 (2)∵cos A＝ 2bc2×22×?6＋2? ＝3 2 a2＋c2－b222＋?6＋2?2－?22?22cos B＝＝， 2ac26＋2? 且A，B都是△ABC的内角， ∴A＝30°，B＝45°， ∴C＝180°－ (A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°， ∴△ABC的三个内角分别是30°，45°，105°. 用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解．在解三角形时常用的结论有： 1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B?cos A＜cos B. π在△ABC中，a＋b＜c?coslt;0＜C＜π，a＋b＝c? cos C＝0?C＝，a＋22 b2＞c2?cos C＞0?0＜C＜. sin B＋sin C 已知△ABC中，sin A＝ABC的形状． cos B＋cos C 【思路点拨】 若化A＝180°－(B＋C)，利用三角变换较为繁琐，因而可考虑利用正、余弦定理化为边的关系，利用代数恒等变形进行求解． π2 a2＋c2－b2a2＋b2－c2b＋c【规范解答】 ＋ 2ac2aba a2＋c2－b2a2＋b2－c2 ∴b＋c＝＋ 2c2b 3 2c－a－c＋ba＋b－c－2b∴， 2c2 c2＋b2－a2a2－b2－c2∴， cb 11222∴(b＋c－a)(＝0. cb 11222∵b＋c－a＝0， cb 2∴b＋c＝a，∴△ABC为直角三角形． 在△ABC中，已知3b＝3asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是________． 22 b23aba【解析】