信息论与编码09-线性分组码.ppt.ppt

电信学院 汪汉新 线性分组码的编码过程分为两步： 把信息序列按一定长度分成若干信息码组，每组由 k 位组成； 编码器按照预定的线性规则(可由线性方程组规定)，把信息码组变换成 n 重 (nk) 码字，其中 (n－k) 个附加码元是由信息码元的线性运算产生的。 信息码组长 k 位，有 2k 个不同的信息码组，则应该有 2k 个码字与它们一一对应。 线性分组码：通过预定的线性运算将长为 k 位的信息码组变换成 n位的码字 (nk)。由 2k 个信息码组所编成的 2k个码字集合，称为线性分组码。 码矢：一个 n 重的码字可以用矢量来表示 C=(Cn－1,Cn－1,…,C1,C0 ) 所以码字又称为码矢。 (n,k) 线性码：信息位长为 k，码长为 n 的线性码。 编码效率/编码速率/码率/传信率：R=k /n。它说明了信道的利用效率，R是衡量编码性能的一个重要参数。 一致监督方程： 编码就是给已知信息码组按预定规则添加监督码元，以构成码字。 在 k 个信息码元之后附加 r(r=n－k) 个监督码元，使每个监督元是其中某些信息元的模2和。 例k=3, r=4构成 (7,3) 线性分组码。设码字为 (C6,C5,C4,C3,C2,C1,C0) C6,C5,C4为信息元，C3,C2,C1,C0为监督元，每个码元取“0”或“1” 监督元可按下面方程组计算 一致监督方程：确定信息元得到监督元规则的一组方程称为监督方程。由于所有码字都按同一规则确定，又称为一致监督方程。 由于一致监督方程是线性的，即监督元和信息元之间是线性运算关系，所以由线性监督方程所确定的分组码是线性分组码。 信息码组 (101)，即C6=1, C5=0, C4=1 由线性方程组得： C3=0, C2=0, C1=1, C0=1 即信息码组 (101) 编出的码字为 (1010011)。其它7个码字如表。 一致监督矩阵： 将监督方程写成矩阵形式，得： H? CT=0T或 C? HT=0 CT、HT、0T分别表示C、H、0的转置矩阵。 系数矩阵 H 的后四列组成一个 (4×4) 阶单位子阵，用 I4 表示，H 的其余部分用 P 表示 推广到一般情况：对 (n,k) 线性分组码，每个码字中的 r(r=n－k) 个监督元与信息元之间的关系可由下面的线性方程组确定 令系数矩阵为 H，码字行阵列为 C 一致监督矩阵特性: 对H 各行实行初等变换，将后面 r 列化为单位子阵，于是得到下面矩阵(行变换所得方程组与原方程组同解)。 监督矩阵H 的标准形式：后面 r 列是一单位子阵的监督矩阵H。 H 阵的每一行都代表一个监督方程，它表示与该行中“1”相对应的码元的模2和为0。 H 的标准形式还说明了相应的监督元是由哪些信息元决定的。例如 (7,3) 码的H 阵的第一行为 (1011000)，说明此码的第一个监督元等于第一个和第三个信息元的模2和，依此类推。 H 阵的 r 行代表了 r 个监督方程，也表示由H 所确定的码字有 r 个监督元。 为了得到确定的码，r 个监督方程（或H 阵的r 行）必须是线性独立的，这要求H 阵的秩为 r。 线性码的封闭性: 线性码的封闭性：线性码任意两个码字之和仍是一个码字。 [证明]：若 U 和 V 为线性码的任意两个码字，故有 HUT=0T，HVT=0T 那么 H(U+V)T=H(UT+VT)=HUT+HVT=0T 即 U+V 满足监督方程，所以 U+V 一定是一个码字。 线性分组码的生成矩阵: 在由 (n,k) 线性码构成的线性空间 Vn 的 k 维子空间中，一定存在 k 个线性独立的码字：g1,g2,…, gk,。码 CI 中其它任何码字C都可表示为这 k 个码字的线性组合，即 G中每一行 gi=(gi1,gi2,…, gin ) 都是一个码字； 对每一个信息组m，由矩阵G都可以求得 (n,k) 线性码对应的码字。 生成矩阵：由于矩阵 G 生成了 (n,k) 线性码，称矩阵 G 为 (n,k) 线性码的生成矩阵。 线性系统分组码: 通过行初等变换，将 G 化为前 k 列是单位子阵的标准形式 线性系统分组码：用标准生成矩阵 Gk×n 编成的码字，前面 k 位为信息数字，后面 r=n－k 位为校验字，这种信息数字在前校验数字在后的线性分组码称为线性系统分组码。 当生成矩阵 G 确定之后，(n,k) 线性码也就完全被确定了，只要找到码的生成矩阵，编码问题也同样解决了。 例: (7,4) 线性码的生成矩阵为 生成矩阵与一致监督矩阵的关系: 由于生成矩阵G的每一行都是一个码字，所以G 的每行都满足Hr×nCTn×1=0Tr×1，则