《线性代数考研资料》第六章 二次型.doc

第六章 二次型 一、二次型的标准型 1．（96，九题，8分）已知二次型的秩为2 （1）求参数c及此二次型对应矩阵的特征值； （2）指出方程表示何种二次曲面 【分析】本题考查二次型矩阵，属常规题型。在解答之前，需认真审题，抓住字眼，这是解题的关键 【详解】（1）此二次型对应矩阵为 因秩（A）＝2，故，由此解得c＝3，容易验证，此时A的秩的确为2 又由 所求特征值为 （2）由特征值可知表示椭圆柱面 2．（98，十题，6分）已知二次曲面方程，可以经过正交变换化为椭圆柱面方程，求的值和正交矩阵P 【分析】本题表示曲面的二次型是相似的，他们对应的矩阵也是相似的，相似矩阵由相同的特征多项式，由此可解出和，进而可求出特征值对应的特征向量，将他们单位化后，这些相互正交的单位向量构成矩阵P，本题也可以根据两个等式 求得 【详解】由题设知，矩阵与相似，于是有 即 解得 此时，，特征值为 解（0E－A）x＝0，得属于特征值的特征向量为 解（E－A）x＝0，得属于特征值的特征向量为 解（4E－A）x＝0，得属于特征值的特征向量为 将单位化得 令，即为所求的正交矩阵 3．（02，填4题，3分）已知实二次型经正交变换x=Py可化标准型，则 【分析】把题设中二次型经正交变换化为标准型，因为前后二次型所对应矩阵既是合同的又是相似的，根据这两个矩阵相似，可知到特征值相同，特征多项式相同，从而可确定待求的参数 【详解1】二次型 所对应矩阵为 标准型所对应矩阵为 根据题设知A，B为相似矩阵，所以A，B的特征值相同，可见A的三个特征值为6,0,0. 而 可见故有 【详解2】由A，B为相似矩阵知，对应特征多项式相同，即 于是有 比较同次幂的系数知 4．（05，20题，9分）已知二次型的秩为2 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求正交变换x＝Qy，把化成标准型； （Ⅲ）求方程的解 【分析】（Ⅰ）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求的值；（Ⅱ）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需的标准型；（Ⅲ）利用第二步的结果，通过标准型求解即可 【详解】（Ⅰ）二次型矩阵，由二次型的秩为2知 ，得 （Ⅱ）由 知矩阵A的特征值是2，2，0 对，由， ???????????????????????????? 得特征向量 对，由， 得特征向量 由于特征向量已经两两正交，只需单位化，于是有 令，那么，经正交变换x=Qy有 （Ⅲ）方程 即 所以方程的解是 二、正定矩阵 1．（99，十一题，6分）设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，为B的转置矩阵，试证：为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n 【分析】本题的证法很多，例如，利用秩的定义和性质可证必要性；充分行的证明可用特征值法 【详解】必要性.设为正定矩阵，则由定义知，对任意的实n维列向量，有，即，于是，，因此，只有零解，故有r(B)=n 充分性.因，故为实对称矩阵。若r(B)=n，则线性方程组只有零解，从而对任意的实n维列向量，有，故为正定矩阵 2．（01，选4题，3分）设，则A与B （A）合同且相似? （B）合同但不相似 （C）不合同但相似 （D）不合同且不相似 【 】 【答】应选（A） 【分析】本题通过实对称矩阵相似与合同的充要条件，运用计算便知：A有特征值4,0,0,0； B有特征值4,0,0,0.可见，而且A与B的秩都是1，正惯指数也都是1，所以A与B合同 【详解】因为A是实对称矩阵，且其特征值为：，故存在 正交矩阵Q，使得 可见，A与B既合同又相似 2011年考研英语远程辅导全程班　　每年考研英语超过60分的考生占总报考人数的比例不足15%，国家最高控制分数线从没超过58分。专业课再优秀，如果英语不过关，也与硕士无缘。　　可是，英语基础本来就不怎么样，学起来又枯燥；备考时间不多，又苦于没有有效的复习方法；自学的效果非常差，怎样才能在短时间内突破考研英语瓶颈呢？　　词汇记不住：是我们的记忆有问题，还是学习方法不对？　　阅读看不懂：是依靠大辞典，还是有更好的办法？　　写作、翻译无从下手：自认为构思还可以，可就是表达不出来，有什么玄机呢？　　针对广大考生存在的问题，华慧考研英语专业辅导团队集多年考研辅导经验，精确把握历年考研英语的命题思路，针对学员的英语基础开设不同层次的辅导班。 免费试听网址：/free/index.asp?zt=kaoyan 复试指导班（