《线性代数考研资料》第五章 特征值与特征向量.doc

第五章 特征值与特征向量 一、特征值与特征向量 1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为，对应于的特征向量为，求A 【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已知A的三个特征值和三个线性无关特征向量后，由公式 可解出 【详解】设对应于的特征向量为，根据A为实对称矩阵的假设知，即，解得 于是由 有 2．（98，填4题，3分）设A为n阶矩阵，，为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值，则必有特征值 【分析】本题从特征值、特征向量的定义进行推导即可 【详解】设，则 即 从而 可见必有特征值 3．（99，填4题，3分）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是 【分析】因为r(A)=1，所以 【详解】因为 故矩阵A的n个特征值是n和0（n-1重） 因此本题应填 4．（99，十题，8分）设矩阵，其行列式，又A的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为，求和的值 【分析】利用，把转化为是本题的关键 【详解】根据题设有， 又于是即 也即 由此可得 解此方程组，得 又由，有 故因此 5.（03，九题，10分）设矩阵，，，求B＋2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵 【分析】可先求出，进而确定及B＋2E，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定的特征值与特征向量，最终根据B＋2E与相似求出其特征值与特征向量。 【详解1】 经计算可得 ，从而 故B＋2E的特征值为 当时，解，得线性无关的特征向量为 所以属于特征值的所有特征向量为 ，其中是不全为零的任意常数 当时，解，得线性无关的特征向量为 所以属于特征值的所有特征向量为 ，其中为非零的任意常数 【详解2】 设A的特征值为，对应特征向量为，即 由于，所以 又因，故有 于是有 因此，为B＋2E的特征值，对应的特征向量为 由于 故A的特征值为 当时，对应的线性无关特征向量可取为 当时，对应的一个特征向量为 由，得 因此，B＋2E的三个特征值分别为9，9，3 对应于特征值9的全部特征向量为 ，其中是不全为零的任意常数； 对应与特征值3的全部特征向量为 ，其中为非零的任意常数 6．（06，（21）题，9分）设3阶实对称矩阵A的各行元素和均为3，向量，是线性方程组Ax＝0的两个解 （Ⅰ）求A的特征值与特征向量 （Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵,使 【分析】本题为矩阵对角化问题，由于矩阵A未给定，故必须利用行和相等与实对称矩阵的已知条件求解 【详解】（Ⅰ）因为是齐次方程组Ax＝0的两个解，即 所以0是A的一个特征值，是对应的两个特征向量，又线性无关，故特征值0的代数重数至少是2 已知A各行元素之和均为3，取，则，说明3是A的另一个特征值，是对应的特征向量，且特征值3的代数重数至少为1 因为矩阵A的互异特征值的台属重数之和等于A的阶数，且已知A是3阶方阵，故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为（为不全为零的任意实数）；3是A的1重特征值，其对应的特征向量为（为任意非零实数） （Ⅱ）令 则是A的标准正交的特征向量，取正交矩阵Q和对角矩阵 ， 则 二、相似矩阵与相似对角化 1．（97，七（2）题），6分）已知是矩阵的一个特征向量， （Ⅰ）试确定参数及特征向量所对应的特征值 （Ⅱ）问A能否相似于对角阵？说明理由 【分析】本题试一道有关特征值，特征向量以及能否相似与对角阵的问题，A能否相似与对角阵取决于A是否存在3个线性无关的特征向量 【详解】（Ⅰ）由题设，有，即 也即 解得 （Ⅱ）由，知 可见为A的三重根，但秩r(-E-A)=2，从而对应的线性无关特征向量只有3－r(-E-A)=1个，故A不可对角化 2．（00，十一题，8分）某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工，设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记成向量 （1）求与的关系式并写成矩阵形成：； （2）验证式A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； （3）当时，求 【分析】本题是线性代数部分的综合应用题，第一步要求根据题意建立递推关系的数学模型；第二步用行列式检验两个二维向量线性无关；第三步相当于求矩阵的n次幂，可利用对角化得到 【详解】（1）由题意，得 化简 ????????????可见 （2）因为行列式 ????????????????????? ?????????????可见线性无关 又故为A得特征向量，且相应的特征值