《线性代数考研资料》第三章 向量.doc

第三章 向 量 一、向量组地线性相关问题 1．（97，选4题，3分）设，则三条直线，，(其中)交于一点地充要条件是 （A）线性相关 （B）线性无关 （C）秩＝秩 （D）线性相关，线性无关 【 】 【答】应选（D） 【分析】三条直线交于一点的充要条件是方程组有惟一解 【详解】由题设，三条直线相交于一点，即线性方程组 有惟一解，其充要条件为秩＝秩＝2 （A），（C）必要但非充分；（B）既非充分又非必要；只有（D）为充要条件，故应选（D） 2．（98，十一题，4分）设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组有解向量，且，证明：向量组线性无关 【分析】向量组是线性无关的，则当时，必有成立 【详解】设有常数，使得 则有 从而 由题设，所以 类似地可以证明，因此向量组是线性无关的 3．（00，选4题，3分）设n维列向量组（mn）线性无关，则n维列向量组线性无关的充分必要条件为 （A）向量组可由向量组线性表示 （B）向量组可由向量组线性表示 （C）向量组与向量组等价 （D）矩阵与矩阵等价 【 】 【答】应选（D） 【分析】向量组线性相关向量组的秩，由定理“若可由线性表出，则” 【详解】用排除法 （A）为充分但非必要条件：若向量组可由向量组线性表示，则一定可推导出线性无关，因为若线性相关，则，于是必线性相关，矛盾。但反过来不成立，如当m=1时，均为单个非零向量是线性无关的，但并不能用线性表示 （B）为既非充分又非必要条件。如当m=1时，考虑均线性无关，但并不能由线性表示，必要性不成立；又如，可由线性表示，但并不线性无关，充分性也不成立 （C）为充分但非必要条件，若向量组与向量组等价，由线性无关秩，，因此线性无关，充分性成立；当m=1时，考虑均线性无关，但与并不是等价的，必要性不成立 故剩下（D）为正确选项。事实上，矩阵与矩阵等价，因此是向量组线性无关的充要条件 4．(03，选4题，4分)设向量组Ⅰ:可由向量组Ⅱ:线性表示，则 （A）当rs时，向量组Ⅱ必线性相关 （B）当rs时，向量组Ⅱ必线性相关 （C）当rs时，向量组Ⅰ必线性相关 （D）当rs时，向量组Ⅰ必线性相关 【 】 【答】应选（D） 【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组Ⅰ:可由向量组Ⅱ:线性表示，则当rs时，向量组Ⅰ必线性相关，或其逆否命题：若向量组Ⅰ:可由向量组Ⅱ:线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则必有，可见正确选项为（D）。本题也可通过举反例用排除法找到答案 【详解】用排除法：如 ，则，但线性无关，排除（A）； ，则可由线性表示，但线性无关，排除（B）； ，则可由线性表示，但线性无关，排除（C） 故正确选项为（D） 5．（04，选（12）题，4分）设A，B为满足AB＝0的任意两个非零矩阵，则必有： （A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关 （B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关 （C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关 （D）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关 【 】 【答】应选（A） 【分析】A，B的行或列向量组是否线性相关，可从A，B是否行（或列）满秩或Ax＝0（Bx＝0）是否有非零解进行分析讨论 【详解1】设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，则由AB＝0知， r(A)+r(B)n 又A，B为非零矩阵，必有r(A)0,r(B)0.可见r(A)n,r(B)n，即A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，故应选（A） 【详解2】AB＝0知，B的每一列均为Ax＝0的解，而B为非零矩阵，即Ax＝0存在非零解，可见A的列向量组线性相关。 同理，由AB＝0知，，于是有的列向量组线性相关，从而B的行向量组线性相关，故应选（A） 6．（05，选11题，4分）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充分必要条件是 （A） （B） （C） （D）