概率论与数理统计第13讲第八章 假设检验.ppt

概率论与数理统计第13讲 第八章 假设检验 §1 假设检验 统计推断的另一类重要问题是假设检验问题. 在总体的分布函数完全未知或只知其形式, 但不知道参数的情况, 为了推断总体的某些未知特性, 提出某些关于总体的假设. 例如, 提出总体服从泊松分布的假设, 又如, 对正态总体提出数学期望等于m0的假设等. 我们是要根据样本对所提出的假设作出是接受, 还是拒绝的决策. 假设检验是作出这一决策的过程. 例1 某车间用一台包装机包装葡萄糖. 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布. 当机器正常时, 其均值为0.5公斤, 标准差为0.015公斤. 某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(公斤):0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.520, 0.515, 0.512问机器是否正常? 以m,s分别表示这一天袋装糖重总体X的均值和标准差. 由于长期实践表明标准差比较稳定, 就设s=0.015. 于是X~N(m,0.0152), 这里m未知. 问题是根据样本值来判断m=0.5还是m?0.5. 为此, 我们提出两个相互对立的假设 H0:m=m0=0.5和 H1:m?0.5.然后给一个合理的法则, 利用已知样本作出是接受假设H0, 还是接收假设H1. 如果接受H0, 则认为机器工作正常,否则不正常. 由于要检验的假设涉及总体均值m, 故首先想到是否可借助样本均值`X这一统计量来进行判断. `X是m的无偏估计, 其观察值的大小在一定程度上反映m的大小. 如果假设H0为真, 则观察值`x与m0的偏差|`x-m0|一般不应太大. 若|`x-m|过分大, 就怀疑假设H0的正确性而拒 因此, 可适当选定一正数k,使当观察值`x满足 然而, 因为决策的依据是样本, 当实际上H0为真时仍可能做出拒绝H0的决策(这种可能性是无法消除的), 这是一种错误, 犯这种错误的概率记为 因无法排除犯这类错误的可能性, 因此自然希望将犯这类错误的概率控制在一定的限度之类. 即给出一个较小的数a(0a1), 使犯这类错误的概率不超过a, 即使得 P{当H0为真拒绝H0}?a. (1.1) 犯这类错误的概率最大为a, 令(1.1)式取等号, 态分布分位点的定义得: k=za/2. 因而, 若Z的观察值满足 则拒绝H0, 而若 例如, 在本例中取a=0.05, 则有k=z0.05/2=z0.025=1.96, 又已知n=9, s=0.015, 再由样本算得`x=0.511, 即有 于是拒绝H0, 认为这天包装机工作不正常. 上例中所采用的检验法则是符合实际推断原理的. 因通常a总是取得较小, 一般取a=0.01, 0.05. 因而若H0为真, 即当m=m0时, 断原理, 就可以认为, 如果H0为真, 则由一次试验得到的观察值`x, 满足不等式 上例中, 当样本容量固定时, 选定a后, 可确定 绝对值|z|大于等于k还是小于k来作出决策. 数k是检验上述假设的一个门槛值. 如果|z|?k, 则称`x与m0的差异是显著的, 这时拒绝H0; 反之, 如果|z|k, 则称`x与m0的差异是不显著的, 这时接受H0. 数a称为显著性水平, 上面关于`x与m0有无显著差异的判断是在显著性水平a之下作出的. 统计量Z称为检验统计量. 前面的检验问题常叙述成: 在显著性水平a下, 检验假设 H0:m=m0, H1:m?m0. (1.2)也常说成在显著性水平a下, 针对H1, 检验H0. H0称为原假设或零假设, H1称为备择假设. 要进行的工作是, 根据样本, 按上述检验方法作出决策, 在H0与H1中择其一.当检验统计量取某个区域C中的值时, 我们拒绝原假设H0, 则C称为拒绝域, 拒绝域的边界点称为临界点, 如上例中拒绝域为|z|?za/2, 而z=-za/2, z=za/2为临界点. 由于检验法则是根据样本作出的, 总有可能作出错误的决策. 如上面所说, 在假设H0实际上为真时, 可能犯拒绝H0的错误, 称这类弃真错误为第I类错误. 又当H0实际上不真时, 也有可能接受H0. 称这类取伪错误为第II类错误. 犯第II类错误的概率记为 一般来说, 当样本容量固定时, 若减少犯一类错误的概率, 则犯有另一类错误的概率往往增大. 一般来说, 总是控制第I类错误的概率, 使它不大于a, a的大小视具体情况而定, 通常a取0.1, 0.05, 0.01, 0.005等值. 这种只对犯第I类错误的概率加以控制, 而不考虑犯第II类错误的概率的检验, 称为显著性检验.形如(1.2)式中的备择假设H1, 表示m1可能大于也可能小于m0, 称为双边备