材料力学——弯曲变形.ppt

由表6.1 中的6 叠加 * * 材 料 力 学 * 第六章 弯 曲 变 形 §6. 1 工程中的弯曲变形问题 对梁除了有强度要求外，还有刚度要求。 大多数情况下，要求梁的变形不能过大； 一些特殊情况下，要利用弯曲变形。 §6. 2 挠曲线的微分方程 求解静不定问题需要计算梁的变形。 挠曲线 梁的轴线变形后的曲线。 对称弯曲时，是一条平面曲线。 §6. 2 挠曲线的微分方程 1 基本概念 梁的轴线变形后的曲线。 对称弯曲时，是一条平面曲线。 弯曲变 形的度量 挠度 横截面形 心沿y方向 的位移，用v表示。 挠曲线 x y P v(x) v θ θ 挠度 横截面形心沿y方向 的位移，用v表示。 转角 变形后，横截面相对其原来位置转过的角度。 用? 表示。转角 ? 以逆时针为正。 挠曲线方程 转角即为挠曲线在该点的切线与x轴的夹角。 2 挠曲线的微分方程 上一章中，已得到：忽略剪力对变形的影响时， 梁对称弯曲时的曲率为 由高等数学公式 dx M(x) M(x) 这就是挠曲线的微分方程。 挠曲线的近似微分方程 在小变形的情况下， 方程中正负号的确定 挠曲线的近似微分方程 在小变形的情况下， 方程中正负号的确定 所以方程中 应取正号。 挠曲线的近似微分方程 在小变形的情况下， 方程中正负号的确定 方程中应取正号。 转角: 注意: 挠曲线的近似微分方程仅适用于小变形的 平面弯曲问题。 §6. 3 用积分法求弯曲变形 挠曲线近似微分方程 积分一次，得 再积分一次，得 其中，C、D为积分常数 边界条件 ，由边界条件确定。 边界条件 几种典型的边界条件 简支梁 悬臂梁 连续条件 弯曲变形的对称点处 在挠曲线的任意点处，有唯一的挠度和转角。 梁的刚度条件 连续条件 在挠曲线的任意点处，有唯一的挠度和转角。 D点和C点 的连续条件 各为什么？ D点： C点： 中间铰处，挠度连续，转角不连续。 例 2 已知：简支梁 受集中力作用。 解： 求：转角和挠 曲线方程。 (1) 求支反力，列弯矩方程 支反力 弯矩方程 AC段： (1) 求支反力，列弯矩方程 弯矩方程 AC段： CB段： (2) 列近似微分方程，积分 AC段： (2) 列近似微分方程，积分 AC段： CB段： (3) 确定积分常数 连续条件 边界条件 时, 时, 代入相应的方程，得: 边界条件 时, 时, 代入相应的方程，得: 将求得的积分常数代回方程，得: AC段： CB段： 将求得的积分常数代回方程，得: AC段： CB段： (4) 求最大转角和最大挠度 (4) 求最大转角和最大挠度 最大转角 由图，最大转角 可能发生在A点 或B点。 最大挠度 最大挠度 经分析，最大挠 度发生在AC段。 令： 经讨论知，不论P力作用在何处，最大挠度总发 生在中点附近(或中点)。所以可近似地以中点的 挠度作为最大挠度。 本例中 AC段： 关于确定积分常数 CB段： (1) 列弯矩方程 措施1 各段的坐标原点为同一点：左端点。 措施2 积分时，保留(x2-a) 作为自变量。 关于确定积分常数 措施1 各段的坐标原点为同一点：左端点。 措施2 积分时，保留(x2-a) 作为自变量。 措施3 有分布载荷时，需将其延长到梁的右端， 并在延长部分加上等值反向的分布载荷。 措施4 有集中力偶时，采用 m(xi-ai)0 的形式。 §6. 4 用叠加法求弯曲变形 叠加法 在线弹性小变形的条件下，得到挠曲线近似 这是一个线性的常微分方程。 微分方程 在第四章中，证明了在小变形的条件下，弯矩与 外载荷成线性关系，可用叠加法求弯矩图。 设： 这是一个线性的常微分方程。 挠曲线近似微分方程 设： 则共同作用时： 则共同作用时： 即：共同作用下的挠度等于分别在M1(x) 、M2(x) 单独作用下的挠度的代数和。 综合以上讨论得到： 在线弹性小变形的条件下，外载荷与挠度 (力与 位移)成线性关系，可用叠加法计算梁的挠度。 叠加法的基础 熟记简单载荷作用下的挠度和转角。 见教材 p. 224 表6.1 。 叠加法的两种类型 (1) 载荷叠加法 将载荷分解为几个简单载荷，分别求解后， 进行叠加； (2) 变形叠加法 在内力不变的前提下，将梁分解(或刚化)为 几段，求出各段的变形，然后进行叠加。 例 1 已知： q , l , EI = 常数。 解： 求：vC , ?B。 分解为三个 简单载荷。 由p. 156 表6.1 中的10 由表6.1 中的8 由p. 224 表6.1 中的10 由表6.1 中的8 由表6.1 中的8 由表6.1 中的6 * * *