高考数学课件-板块命题点专练(十二)　空间向量及其应用.doc

板块命题点专练(十二)　空间向量及其应用 (研近年高考真题——找知识联系，找命题规律，找自身差距) 命题点　向量法求空间角及应用 命题指数：☆☆☆☆☆　难度：中　题型：解答题 1．(2013·北京高考)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5. (1)求证：AA1⊥平面ABC； (2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值； (3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值． 解：(1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC. 因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC. (2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB. 由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)． 设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)． 同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m＝(3,4,0)． 所以cos〈 n，m〉＝＝. 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角， 所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为. (3)证明：设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且＝λ. 所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)． 解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ. 所以＝(4λ，3－3λ，4λ)． 由·＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝. 因为∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D， 使得AD⊥A1B. 此时，＝λ＝. 2．(2014·福建高考)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示． (1)求证：AB⊥CD； (2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值． 解：(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD. 又CD?平面BCD，∴AB⊥CD. (2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图． 由(1)知AB⊥平面BCD，BE?平面BCD，BD?平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD. 以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系． 依题意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M， 则＝(1,1,0)，＝，＝(0,1，－1)． 设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)， 则即取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1,1)． 设直线AD与平面MBC所成角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝， 即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为. 3．(2014·湖北高考)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0λ2)． (1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ； (2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 解：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，λ)． ＝(－2,0,2)，＝(－1,0，λ)，＝(1,1,0)． (1)证明：当λ＝1时，＝(－1,0,1)， 因为＝(－2,0,2)，所以＝2，即BC1∥FP. 而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ， 故直线BC1∥平面EFPQ. (2)设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 由可得 于是可取n＝(λ，－λ，1)． 同理可得平面MNPQ的一个法向量为m＝(λ－2,2－λ，1)． 若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角， 则m·n＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0， 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0， 解得λ＝1±. 故存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角． 4．(2015·重庆高考)如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2. (1)证明：DE⊥平面PCD； (2)求二面角A-PD-C的余弦值． 解：(1)证明：由PC⊥平面ABC，DE?平面ABC， 得PC⊥DE. 由CE＝2，CD＝DE＝，得△CDE为等腰