2016年竞赛与自主招生专题第二讲：均值、柯西、排序不等式（教师版）.doc

2016 年竞赛与自主招生专题第二讲 均值、柯西、排序不等式 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 　　所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。 在近三年自主招生试题中，不等式部分通常占10%-15%，其中绝大多数涉及到不等式的证明或涉及到一些考纲之外的特殊不等式。 一、知识精讲 1.两个重要的不等式（二元均值不等式）： ①，当且仅当时等号成立。 ②，当且仅当时等号成立。 2.最值定理：若，则： ①如果P是定值, 那么当时，S的值最小； ②如果S是定值, 那么当时，P的值最大。 注意： ①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式； ②“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值； ③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。 均值不等式：设是个正实数，记，， ，，则，其中等号成立的条件是。分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均。 2.柯西不等式： 柯西不等式的二维形式：若都是实数，则，当且仅当时，等号成立。 柯西不等式的一般形式：设，是实数，则 ，当且仅当 或存在一个数，使得时，等号成立。 3.柯西不等式的几个推论： 当时，柯西不等式即为，若（），则，此即上面提到的平方平均算术平均。 当（）时，有。 当（），则。 4.排序不等式（又称排序定理）： 给定两组实数；．如果；．那么 （反序和） （乱序和） （同序和） 其中是的一个排列． 该不等式所表达的意义是和式在同序和反序时分别取得最大值和最小值． 竞赛题目精练 【2013江苏竞赛】13. 设实数，满足. 证明：． 证明：设f (x) ( 2x+cos(x，欲证不等式转化为f (b) ≤ f (a). 由于f ′(x) ( 2((sin(x，f ″(x) ( ( (2cos(x. 当x(0,)时，f ″(x) ( ( (2cos(x＜0，当x(,1)时，f ″(x) ( ( (2cos(x＞0， 所以f ′(x)在区间[0,]上单调减，在区间[,1]上单调增. 因为f ′(0) ( f ′(1) ( 2和f ′() ( 2((＜0，所以存在(和(，0＜(＜＜(＜1，使得f ′(() ( f ′(() ( 0，f ′(x)＜0当且仅当x((,(). .......................................................10分 于是函数f (x)在区间[0,(]和[(,1]上单调增，在区间[(,(]上单调减. 因为f (0) ( f () ( f (1) ( 1，故对于x[0,]有f (x)≥1，对于x[,1]有f (x)≤1. 特别地，f (b) ≤ 1 ≤ f (a). .......................................................20分 2-1