2016年竞赛与自主招生专题第九讲 等差数列等比数列与数列求和 （教师版）.doc

2016 年竞赛与自主招生专题第九讲等差数列等比数列与数列求和 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，数列是自主招生必考的一个重要内容之一，数列考得较多的知识点有:极限、数学归纳法、递推数列、等差等比数列、及数列的应用等。 一、知识精讲 等差数列： 1.通项公式：； 2.前项和公式：. 等比数列： 1.通项公式：； 2.前项和公式：或 . 数列的通项公式与前项的和的关系：(为数列的前项的和为). 常见数列的前项和公式： 一．等差数列的主要判定方法： ①（为常数）； ②（）； ③（为常数）； ④（为常数）。 二．等差数列的主要性质： ①或（是公差）； ②若，且，则。注意，反之不一定成立； ③数列（是常数）是公差为的等差数列； ④下标成等差数列，且公差为的项组成的数列仍然为等差数列，且公差为。 三．等比数列的判定方法： ①（是不为0的常数）； ②（均为不为0的常数）； ③（且均不为0）。 四．等比数列的性质： ①（为公比）； ②若，则（）； ③每隔项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列。 五．数列求和方法： 1.直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式： （2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论） 2.公式法：（见常见数列的前项和公式） 3.错位相减法：比如 4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式： ① ； ② ③ ④ 分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和； 6.合并求和法：如求的和； 7.倒序相加法：如等差数列的前项和公司的推导，有时关于组合数的求和问题，也常用到该方法； 8.其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等。 ?备注：在等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,在等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn． 六．第二数学归纳法： ①先证时命题成立；假设时命题成立，再证明时命题也成立（有时称之为跨度为2的数学归纳法）。 ②当时，命题成立；假设对一切小于的正整数命题成立，能够推出（证明）时命题也成立。 以上两种都是第二数学归纳法。 七．主要方法： 1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； 典例精讲 例1．（2012“华约”）已知，其前项和为，求。 ?分析与解答： ， 。 所以，。 例2．（2011复旦）设有4个数的数列为，前3个数构成一个等比数列，其和为，后3个数构成一个等差数列，其和为9，且公差非零。对于任意固定的，若满足条件的数列的个数大于1，则应满足（ ） （B） （C） （D）其他条件 ?分析与解答： 由于前3个数成等比数列，不妨设公比为，后三个数成等差数列，公差为，依题意，。。所以，即 。依题意知，此关于的方程的根不是唯一的，且。所以，，，且。故选D。 例3．（2010复旦）已知数列满足：，且是公比为2的等比数列，则（ ）。 （B） （C） （D） ?分析与解答： 是公比为2的的等比数列，故，即。记，则 。 。 ①-②，得 ， 即，选B。 例4．（2007上海交大）已知等差数列的首项为，公差为；等比数列的首项为，公比为，，其中均为正整数，且。 求的值； 若对于、，存在关系式，求； 对于满足（2）中关系式的，求。 ?分析与解答： （1）依题意，，故 。 由，，且。 又。 若，则，，矛盾！ 所以。 ，即，。（*） 注意到，且，（*）式成立当且仅当。 由（2）知 。 例5．在等差数列中，公差，是与的等比中项，已知数列 成等比数列，求数列的通项． ?分析与解答： 依题设得， ∴，整理得 ∵， ∴,得 所以，由已知得是等比数列． 由于，所以数列也是等比数列，首项为1，公比为，由此得等比数列的首项，公比， 所以．即得到数列的通项为 例6．（2004年春季北京卷) 下表给出一个“等差数阵”： 4