2016年竞赛与自主招生专题第六讲 导数与积分（教师版）.doc

2016 年竞赛与自主招生专题第六讲 导数与积分 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，有关导数与积分的内容大约占20%—30%。 一、知识精讲 一．导数的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，若极限（*）存在，则称函数在点可导，并称其极限值为函数在的导数，记作。 若令，则（*）式可改写为 。 二．导数的几何意义： 函数在点的导数是曲线在点处切线的斜率。若表示这个切线与轴正向的夹角，则。 三．基本求导法则： ①； ②，（为常数）； ③； ④反函数导数 ； ⑤复合函数导数 。 四．基本初等函数导数公式 ①（为常数）； ②（为任何实数）； ③，， ，， ，； ④， ； ⑤； ⑥。 五.原函数：设是定义在区间上的函数，若存在函数，对任意都有，则称是的一个原函数。 一个函数若存在原函数，它必定有无穷多个原函数，若是的一个原函数，则表示的全体原函数. 六．不定积分：设是的一个原函数，则称的全体原函数为的不定积分。记为，即。 七.不定积分的性质： ①； ②， ③， ④。 八．常见积分公式 ， ， ， ， ， ， ， ， 。 九．函数的单调性：若函数在内可导，则在内递增（递减）的充要条件是（），。 竞赛题目精练 【2012年江苏】12. 已知为实数，，函数.若. （1）求实数； （2）求函数的单调区间； （3）若实数满足，求证：. 解：（1）由题设f (1) ( e + 1，f (2) ((ln2 + 1得|a| + b ( e + 1，|ln2(| + b (( ln2 + 1， 因为a 2，所以a 2ln2，从而a + b ( e + 1，且+ b (+ 1， 解得a ( e，b ( 1. .......................................................... 5分 （2）由（1）得f (x) ( |lnx(| + 1. 因为lnx，(在(0,+∞)上均单调递增，lne (( 0. 令g(x) ( lnx (，所以有 当x e时，g(x) g (e) ( 0，从而f (x) ( lnx (+ 1单调递增； 当0 x e时，g(x) g (e) ( 0，从而f (x) ( lnx(+ 1单调递减. 故f (x)的单调递减区间为(0,e)；单调递增区间为(e,+∞). ................................ 15分 （3）因为c d，cd ( 1，所以，c 1， 于是f (c) ( |( lnc| + 1，f (d) ( f () ( |ec + lnc| + 1 ( ec + lnc + 1. 又因为当c 1时，ec + lnc lnc + |lnc(|，所以f (c) f (d). 典例精讲 例1．已知在处可导，且，求下列极限： （1）； （2） ?分析：在导数定义中，增量的形式是多种多样，但不论选择哪种形式，也必须选择相对应的形式。利用函数在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 ?解答：（1） （2） 练习1：若函数在区间内可导，且则 的值为（ ） A． B． C． D． ?答案：B ?解答： 练习2：（2000上海交大）已知在处可导，则 。 ?答案： ?解答：由导数定义知 。 例2．求函数的导数。 ?解答： 练习3.,若,则的值等于（ ） B． C． D． ?答案：D ?解答： 例3．函数的导数为_________________； ?解答： 例4．求函数的导数。 ?解答： 。 例5．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数