2016年竞赛与自主招生专题第十三讲：排列组合与二项式定理（教师版）.doc

2016 年竞赛与自主招生专题第十三讲排列组合与二项式定理 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，排列组合、二项式定理是自主招生必考的一个重要内容之一。 一、知识精讲 1.分类加法原理（加法原理）:. 2.分步计数原理（乘法原理）:. 3.排列数公式:==.(，∈N*，且)．注:规定. 4.排列恒等式 ： （1）； （2）； （3）； (4) . 5.组合数公式： ===(，，且). 6.组合数的两个性质： (1)= ； (2) +=；注:规定. 7.组合恒等式 （1）； （2）=； （3）； (4)； (5)； (6)； 8.排列数与组合数的关系： . 9.二项式定理： ; 二项展开式的通项公式：. 几个基本组合恒等式：①；②；③；④； ⑤；⑥（范德蒙公式）。 不尽相异的个元素的全排列：在个元素中，有个元素相同，又另有个元素相同，。。。。，一直到另有个元素相同，且，这个元素的全排列叫做不尽相异的个元素的全排列。不难得到，此全排列数计算公式为：。 从个元素里取个元素的环排列：从个不同元素中任取个元素按照圆圈排列，这种排列叫做从个元素里取个元素的环排列。如果元素之间的相对位置没有改变，它们就是同一种排列。把一个个元素的环在个不同的位置拆开，即得个不同的线排列。由于个不同元素中任务个元素的排列方法种，所以个不同元素中任取个元素的环排列方法有种。特别地，个不同元素的环排列方法有（种）。 ?注：排列数，有些地方也记为。 一次不定方程的非负整数解的个数等于（或）；正整数解的个数等于（或）。 错位排列问题：设集合，所有元素的一种全排列，满足，则称这样的排列为错位全排列。用表示错位全排列总数，则。 排列、组合应用题常用的解法有： ①运用两个基本原理（加法原理、乘法原理）；②特殊元素（位置）优先考虑；③捆绑法；④插入法；⑤排除法；⑥机会均等法；⑦转化法。 证明组合恒等式的常用方法有：①赋值法；②母函数法；③构造组合模型法。 典例精讲 例1．（2009华南理工）在的展开式中，的系数为（ ）。 （B） （C） （D） ?答案A ?分析与解答： 的系数 。 例2．（2011“卓越联盟”）数列共有11项，，且。满足这种条件的不同数列的个数为（ ） （A）100 （B）120 （C）140 （D）160 ?分析与解答： 依题意，或，设有个1，则有个-1，依题意知：，所以。从而所有这样的数列个数为。故选B。 例3．（2006复旦）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数？ ?分析与解答： 显然，四位数全部相同的四位数恰有9个，下面考虑四位数字恰有两个不同数字的四位数，分三个步骤考虑： 第一步，先考虑千位数字，有9种可能取法：1,2,3，。。。9 第二步，再考虑百位、十位、个位上的数字，由于恰有两个不同数字，故除了千位数字外，再从中选出1个数码。 第三步：前两步两个数码确定后，再对个位、十位、百位上的数字进一步确定；这三个位置上分别各有2种可选择性，但要去掉一种情况：即个位、十位、百位上的数码选出的都和千位数字完全相同，故有种选法。 综上，共有四位数个。 例4．（2007复旦）三边均为整数，且最大边长为11的三角形共有（ ）个。 （A）20 （B）26 （C）30 （D）36 ?答案：D ?分析与解答： 不妨设三边长为，且，则。 若，，共1个； 若，共2个； 若，共3个； 若，共4个； 若，共5个； 若，共6个； 若，共5个； 若，共4个； 若，共3个； 若，共2个； 若，共1个。 故共有个。 例5．（2010同济）若多项式，则 。 ?答案：-10 ?分析与解答： 考虑两边的系数，易知。再考虑两边的系数，右边。 左边的系数为0，所以。 例6．（2008上海交大）中的系数为 。 ?答案： ?分析与解答： 原式 ，故的系数为。 例7．（2008上海交大）通信工程中常用元数组表示信息，其中或1（）。设，表示和中相对应的元素不同的个数。 问存