2016年竞赛与自主招生专题第十六讲：解析几何二（教师版）.doc

2016 年竞赛与自主招生专题第十六讲 解析几何二 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。 一、知识精讲 椭圆中的经典结论： 点在椭圆上上，则过的椭圆的切线方程是． 点在椭圆上外，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是． 椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点，，则椭圆的焦点三角形的面积为． 双曲线中的经典结论： 点在双曲线上（）上，则过的双曲线的切线方程是 ． 2点在双曲线上（）外，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是． 3.双曲线（）的左右焦点分别为，点为双曲线上一点，，则双曲线的焦点三角形的面积为． 三．抛物线： 1.过抛物线的焦点的一条弦 , 记准线与轴交点为，分别交轴于两点，则： 端点坐标积恒定：过抛物线的焦点的直线，交抛物线于 ，则：(1)，　 ； (2) 。 共线： 过抛物线的焦点的直线，交抛物线于两点，如图示，有下列三个结论： （1）三点共线 ． （2）三点共线． （3）设直线与抛物线的准线的交点为，则平行于轴． （4）设直线与抛物线的准线的交点为，则平行于轴． 【知识拓展】 一．圆锥曲线和直线的参数方程 1.圆的参数方程是其中是参数。 2.椭圆的参数方程是其中是参数，称为离心角。 3.双曲线的参数方程是其中是参数。 4.抛物线的参数方程是其中是参数。 5.过定点，倾斜角为的直线参数方程为为参数。 这里参数的几何意义是：①表示直线上的点和定点的距离；②当点 在点的上方时，，当点在点的下方时，；当点与点 重合时，，反之亦然。 二．圆锥曲线的统一极坐标方程 以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方程为，其中为离心率，是焦点到相应准线的距离。 三．焦半径公式 设为圆锥曲线上任一点，分别为点到焦点及相应准线的距离，则． 1.对于椭圆，、是它的两个焦点．设是椭圆上的任一点，则有，． ?解读：由椭圆的焦半径公式可知，椭圆上的某一点的焦半径的长是这一点的横坐标（对是纵坐标）的一次函数． ?（扩充）：焦半径公式的另一种形式()为(是以为始边，为终边的角，不是的倾斜角)． 2.对于双曲线（），、是它的两个焦点．设是双曲线上的任一点，若点在双曲线的右支上，则有，；若点在双曲线的左支上，则有，． ?（扩充）：焦半径公式的另一种形式(（）)为(是以为始边，为终边的角，不是的倾斜角)． ?注意：当时，点在右支上，当时，点在左支上． 3.对于抛物线（），是它的焦点，设是抛物线上的任一点，则．设，则． 四．共轭直径 二次曲线平行弦的中点轨迹称为它的直径．若两直径中的每一直径平分与另一直径平行的弦，则称此两直径为共轭直径． 1.设椭圆的方程为，互为共轭直径的斜率关系为； 2.设双曲线的方程为（），互为共轭直径的斜率关系为； 3.设抛物线的方程为（），一组斜率为的平行弦的中点轨迹为射线． 五．过焦点的弦 1.设椭圆的方程为，过的弦长为，过的弦长为．过焦点的弦长是一个仅与它的中点横坐标有关的数． ?（扩充）：焦点弦长的另一种形式为．(是以为始边，为终边的角，不是的倾斜角)． 2.设双曲线的方程为（），过的弦长为，过的弦长为． ?（扩充）：焦点弦长的另一种形式为(是以为始边，为终边的角，不是的倾斜角)． 3.设抛物线的方程为（），，设，则焦点弦长为． 六．双曲线的渐近线 1.如果曲线上的点无限远离原点时，存在一条直线，使得与此直线的距离无限趋向于零，则这条直线称为曲线的一条渐近线．双曲线的渐近线方程为，即． 2.共轭双曲线的方程为，共渐近线的双曲线系方程：． 互为共轭的两条双曲线有以下性质： ①时得焦点在轴上的双曲线；时得焦点在轴上的双曲线；时即是双曲线的渐近线； ②两共轭的双曲线的离心率满足； ③它们的四个焦点在同一个圆上． 典例精讲 例1．（2011“卓越联盟”）已知抛物线的顶点在原点，焦点在上，三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若边所在直线的方程为，则抛物线方程为（ ） （B） （C）