高考数学专题五-利用导数证明不等式--教案.doc

专题五　　利用导数证明不等式 一、用函数的单调性证明不等式：我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）．因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的．即把证明不等式转化为证明函数的单调性． 一般方法：构造辅助函数判定单调性得所证不等式． 基本依据：若在内单增； 若在内单减． 具体有如下几种形式： 1．由欲证形式直接构造构造“形似”函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单 调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立． 【例1】当时，求证；． 证明：设，则． ∵，∴，故在上递减， 时，，即成立． 【针对练习1】求证：当时，． 证明：设，，则． 当时，，从而在上为增函数， ∴，∴． 2．由欲证形式做恒等变形作差或作商，变成初等函数四则运算的形式，若变量没有，将其中一个常数 改为），则另一端即为所求作的辅助函数，然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等 式的目的． 【例2】求证：当时，． 证明：令，补充定义，则 ， 在上单调递增，在上， ． 点评：一般的，用导数证明不等式时要注意所构造的函数在区间端点处是否连续，即是否要补充函数在端点处的定义；另外要注意用到一个结论：设函数在区间上连续，在区间内可导，且，又，则时，． 【针对练习2】求证：当时，． 证明：令，补充定义，则， 在上单调递减，在上， ． 【例3】当时，证明：． 证明：令，则， 而，， 当时，， ∴在上递减，即，从而在递减， ∴，． 【针对练习3】求证：当时，． 证明：设，则，． 当时，，在上单调递增，， 在上单调递增，，． 【例4】求证：当时，． 证明：若令，证明过程比较麻烦，我们可令， 则， ，，则，，即在上单减， 故，即． 【例5】求证：当时，．（常数不等式一般化为函数不等式证明） 分析：，可令，证单减； 或者，证，可令， 证． 证法一：令，则，在单减， 又，，即． 证法二：令，则， ，，在单增， ，， 特别地令，得，即． 【针对练习4】证明：当时，． 证明：设，则． 由于，，故， 在内，在单减，即， 从而． 3．通过换元后作差构造函数证明不等式． 【例6】（07山东）证明：对任意的正整数，不等式都成立． 分析：本题是山东卷的第（）问，从所证结构出发，只需令，则问题转化为：当时，恒有成立，现构造函数，求导即可达到证明． 令，则在上恒正，函数在上单调递增，∴时，恒有即，∴对任意正整数，取． 【针对练习5】若． 证明：令，∴，． 则原不等式，令，∴． ∵，∴，∴在上为增函数． ，∴． 令，∴， ∵，∴，∴在上为增函数． ，∴，∴． 点评：（1）代换作用：此题设代换实际上就是把原来取不到的值代换为可取到的把原来要研究函数在处的值，等价为研究函数在处的值；（2）若令，即为本题的特例，想一想如何证？ 4．利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式． 【例】求证：，时，证明：要证原式，即需证：，时成立设，则，∵，∴∴在上是增函数，∴的最小值为． ∴，，时，【针对练习】，时，证明：． 证明：，则．令，得． 当时，，当时，， 即在上为增函数，在上为减函数． 故函数在上的最大值为， 即，∴，即． 【例】，，其中， 且，求证：． 证明：设，则， ∵，，∴当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 于是函数在上的最小值是， 故当时，有，即． 【针对练习】，求证：当时，恒有． 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数，从其 导数入手即可证明． 证明：． ∴当时，，即在上为增函数； 当时，，即在上为减函数． 于是函数在上的最大值为， 因此，当时，，即，∴． 令，则． 当时，，当时，， 即在上为减函数，在上为增函数． 故函数在上的最小值为， ∴当时，，即，∴． 综上可知，当时，有． 【例】，，时，求证： 证明：∵，时，，∴在上递减故在上的最大值为最小值为，即在上的值域为∴，时，，，即有【针对练习】，对于中的任意都有． 证明：， 令，则，即，解得． 当时，，当时，， ∴在在的最小值为， 又，，∴的最大值为1，即时，， 故． 二、用中值定理证明不等式： 拉格朗日中值定理满足以下条件：（1）在闭区间内连续；2）在开区间上可导则内至少存在一点，使得． 一般方法：构造辅助函数据拉格朗日中值定理得等式由的范围范围得所证不等式． 【例1】． 分析：把不等式可以改写成，可见中项是函数在区间两端值之 差，而是该区间的长度，于是可对在上使用拉格朗日中值定理． 证明：设，则．在区间上满足拉格朗日中值定理上存在，使得，即． 又因，于是有，即． 【针对练习1】，证明：． 证明：设，则．在区间上满足拉格朗日中值定理上存在，使得，即． ∵