2018年勾股定理竞赛培题附答案.docx

勾股定理竞赛培训题1、如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．（1）①依题意补全图2；②求证：AD=BE，且AD⊥BE；③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；（2）如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．解：（1）①依照题意补全图2，如下图（一）所示．②证明：∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=90°，∠BCE+∠DCB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ADC和△BEC中，有，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD=BE，∠BEC=∠ADC．∵点A，D，E在同一直线上，△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∠ADC=180°﹣∠CDE=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°，∴AD⊥BE．③依照题意画出图形，如图（二）所示．∵S△ABC+S△EBC=S△CAE+S△EAB，即AC?BC+BE?CM=AE（CM+BE），∴AC2﹣AE?BE=CM（AE﹣BE）．∵△CDE为等腰直角三角形，∴DE=2CM，∴AE﹣BE=2CM．（2）依照题意画出图形（三）．其中AB=，DP=1，BD=AB=由勾股定理得：BP==3．结合（1）③的结论可知：AM===1．故点A到BP的距离为1．【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的面积公式、角的计算以及勾股定理，解题的关键：（1）①结合题意画出图形；②找出△ADC≌△BEC；③利用分割法求组合图形的面积；（2）利用类比法借助（1）③的算式求出结论．本题属于中档题，（1）①②难度不大；③难度不小，此处用到了分割组合图形求面积来找等式，该小问处切记线段AC当成已知量；（2）利用类比的方法套入（1）③的算式即可．解决该题型题目时，画出图形，注意数形结合是关键．2、（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则①∠BEC＝＿＿＿＿＿＿°；②线段AD、BE之间的数量关系是＿＿＿＿＿＿．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．（3）探究发现：如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长． 解：（1）①120°，②AD＝BE…（2）（3）如下图所示由（2）知△BEC≌△APC，∴BE=AP＝5，∠BEC=∠APC＝150°，∵∠APD=30°，AP=5，CP=4，DP=8，∠APD=30°，∠EPC=60°，∴∠BED=∠BEC-∠PEC=90°，∠DPC＝120°又∵∠DPE＝∠DPC＋∠EPC＝120°＋60°＝180°，即D、P、E在同一条直线上∴DE=DP+PE=8+4=12，BE=5，????????????????????????∴BD的长为133、如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC=10cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．【考点】三角形综合题．【分析】（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，根据勾股定理求出AC根据等腰三角形的判定定理解答；（2）根据三角形的面积公式求出三角形的三边长，根据等腰三角形的性质列式计算即可；（3）分DE=DM、ED=EM、MD=ME三种情况，根据等腰三角形的性质解答．【解答】解：（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，在Rt△ACD中，AC==5x，又AB=5x，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）S△ABC=×5x×4x=10cm2，解得，x=1cm，则BD=2cm，AD=3cm，CD=4cm，AC=5cm，①当MN∥BC时，AM=AN，即5﹣t=t，∴t=2.5，当DN∥BC时，AD=AN，则t=3，故若△DMN的边与BC平行时，t值为2.5或3．②当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE，当t=2时，点M运动到点D，