数学模型第四版姜启源第十二章PPT.ppt

用调入比例进行稳定控制 问题：给定Q, 哪些等级结构可以用合适的调入比例保持不变 a为稳定结构 用调入比例进行稳定控制 求稳定结构 a=(a1,a2,a3) (a1+a2+a3=1) (0.5,0.5,0) a2=a1 a3=1.5a2 (0,0.4,0.6) a* B (0,0,1) (0,1,0) (1,0,0) A 例 大学教师(助教、讲师、教授)等级 i=1,2,3，已知每年转移比例 可行域A 稳定域B 第十二章 马氏链模型 12.1 健康与疾病 12.2 钢琴销售的存贮策略 12.3 基因遗传 12.4 等级结构 12.5 资金流通 马氏链模型 系统在每个时期所处的状态是随机的. 从一时期到下时期的状态按一定概率转移. 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率. 已知现在，将来与过去无关（无后效性） 描述一类重要的随机动态系统(过程)的模型. 马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程 通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质. 例1. 人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7. 12.1 健康与疾病 人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变. 保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计, 以制订保险金和理赔金的数额 . 若某人投保时健康, 问10年后他仍处于健康状态的概率. Xn+1只取决于Xn和pij, 与Xn-1, …无关 状态与状态转移 状态转移具有无后效性 0.8 0.2 0.3 0.7 1 2 n 0 a2(n) 0 a1(n) 1 设投保时健康 给定a(0), 预测 a(n), n=1,2,… 设投保时疾病 a2(n) 1 a1(n) 0 n??时状态概率趋于稳定值, 稳定值与初始状态无关. 3 … 0.778 … 0.222 … ∞ 7/9 2/9 0.7 0.77 0.777 … 0.3 0.23 0.223 … 7/9 2/9 状态与状态转移 1 0.8 0.2 2 0.78 0.22 0.8 0.2 0.3 0.7 1 2 n 0 1 2 3 ? a2(n) 0 0.18 0.189 0.1835 ? a3(n) 0 0.02 0.054 0.0880 ? a1(n) 1 0.8 0.757 0.7285 ? 设投保时处于健康状态，预测 a(n), n=1,2,… 不论初始状态如何，最终都要转到状态3 ； 一旦a1(k)= a2(k)=0, a3(k)=1, 则对于nk, a1(n)=0， a2(n)=0, a3(n)=1, 即从状态3不会转移到其他状态. 状态与状态转移 0 0 1 ∞ 50 ? 0.1293 ? 0.0326 ? 0.8381 ? 马氏链的基本方程 基本方程 马氏链的两个重要类型 1. 正则链 ~ 从任一状态出发经有限次转移 能以正概率到达另外任一状态 (如例1) . w ~ 稳态概率 马氏链的两个重要类型 2. 吸收链 ~ 存在吸收状态（一旦到达就不会离开 的状态i, pii=1）,且从任一非吸收状态出发经有 限次转移能以正概率到达吸收状态 (如例2). 有r个吸收状态的吸收链的转移概率阵标准形式 R有非零元素 yi ~ 从第 i 个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收前的平均转移次数. 12.2 钢琴销售的存贮策略 钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金. 一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架. 存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售；否则，不订购. 估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大? 以及每周的平均销售量是多少? 背景与问题 问题分析 顾客的到来相互独立，需求量近似服从泊松分布，其参数由需求均值为每周1架确定，由此计算需求概率. 存贮策略是周末库存量为零时订购3架 ?周末的库存量可能是0, 1, 2, 3，周初的库存量可能是1, 2, 3. 用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化. 动态过