数学模型讲座因子分析PPT.ppt

因子分析(Factor analysis) 武汉理工大学统计学系 唐湘晋 因子分析是主成分分析的推广和发展，它也是多元统计中处理降维的一种方法。因子分析是研究相关阵或协差阵的内部依赖关系，将多个变量综合为少数几个因子，再现原始变量与因子之间的关系。 形成和发展：1904 年Charles Spearman 的论文 《对智力测验得分进行的统计分析》 早期主要用于心理学和教育学方面的问题 目前：经济学、社会学、考古学、生物学、医学及体育科学 实例1 (1)为了解学生的学习能力，观测了n 个学生p 个科目的成绩,用X1, X2, …, Xp 表示科目（例如代数、几何、语文、英语，……）可以认为各科目有两部分组成： 其中F 是对所有的Xi 都起作用的公共因子，它表示智能高低的因子；系数ai 称为因子载荷，表示第i 各科目在智能高低上的体现；εi 是科目变量特有的特殊因子，描述原始变量. 这就是一个最简单的因子模型； (2). 推广到m 个因子，如数学因子、记忆因子、计算因子等，分别记为F1,F2,……,Fm。 这就是一个因子分析模型. 实例2 调查青年对婚姻家庭的态度，抽取n 个青年回答了50个问题的答卷，这些问题可归纳为如下的几个方面：如对相貌的重视，对孩子的观点、对老人的态度等 实例3 考察人体的五项生理指标：收缩压、舒张压、心跳间隔、呼吸间隔和舍下温度。从生理学知识，这五项指标是受植物神经支配的，植物神经又分为交感神经和副交感神经，因此这五项指标也可以用因子分析模型去处理 因子分析的主要应用 (1).寻求基本结构，简化观测系统，将具有错综复杂关系的对象（变量或样本）综合为少数几个因子（不可观测的随机变量），以再现因子与原始变量之间的内在联系 (2). 用于分类，对变量或样本进行分类. R型和Q型因子分析 (1). R型 从变量的相关阵出发，找出控制所有变量的几个公共因子，用以对变量或样本进行分类。 (2). Q型 从样本的相相似据阵出发，找出控制所有样本的几个主要因素。 R型因子分析的数学模型 用矩阵表示 因子分析的数学模型 简记为 且满足 为任一个m 阶的正交阵，上式仍满足约束条件 因子分析每个相应的系数不是唯一的，即因子载荷阵不是唯一的 通过模型 以F 代替X ，由于mp, 或 mn,从而达到简化变量维数目的 因子分析的目的 正交因子模型中各统计量的意义 因子载荷的统计意义 第i 个变量与第j 个公共因子的相关系数。用统计学术语叫权重，表示Xi 依赖Fj 的分量 因子载荷据阵A中各行元素的平方和记为 称为变量Xi 的共同度 公共因子方差 剩余方差 变量共同度的统计意义 因子载荷据阵A中各列元素的平方和记为 表示第j 个因子对所有分量的总影响，称为第j 个因子对X 的贡献，它是衡量第j 个因子相对重要性的指标 公共因子Fj方差的统计意义 因子载荷阵的估计方法 主成分法 主因子法 极大似然法 设样本的协差阵的特征值和特征向量分别为： 则协差阵可分解为 其中分量A和D就是因子模型的一个解，A中的第j 列和X中的第j个主成分的系数相差一个倍数。故此解常称为因子模型的主成分解。 当最后p-m个特征值较小时，协差阵可以近似的分解为 公因子个数的确定方法 1）根据实际问题的意义或专业理论知识 2）用确定主成分个数的原则 因子旋转 用一个正交阵右乘A，使旋转后的因子载荷阵结构简化，即使得每个变量仅在一个公共因子上有较大的载荷，而在其余的因子上载荷比较小。 方差最大的正交旋转 使得旋转后的所得到的因子载荷阵的总方差达到最大值. 因子得分 Thomson 回归法 因子分析的步骤 计算所选原始变量的相关系数矩阵 相关系数矩阵描述了原始变量之间的相关关系。可以帮助判断原始变量之间是否存在相关关系，这对因子分析是非常重要的，因为如果所选变量之间无关系，做因子分析是不恰当的。并且相关系数矩阵是估计因子结构的基础。 选择分析的变量 用定性分析和定量分析的方法选择变量，因子分析的前 提条件是观测变量间有较强的相关性，因为如果变量之间 无相关性或相关性较小的话，他们不会有共享因子,所以 原始变量间应该有较强的相关性。 提取公共因子 这一步要确定因子求解的方法和因子的个数。需要根据研究者的设计方案或有关的经验或知