(参考)运筹学导论第8版12排队论.pptVIP

* 在一般情况下，提高服务水平会降低顾客等待费用，但增加服务机构的成本。 优化的目的 是使得顾客等待费用和机构服务费用之和最小，决定到达这个最优目标的最优服务水平。 使得纯收入或者使得利润(服务收入减去服务成本)为最大。 顾客等待时间成本 服务时间成本 总费用 服务水平 费用 最优服务水平 * 各种费用在稳态情形下，都是按单位时间来考虑的，一般情形，服务费用是可以确切计算的，但是顾客等待费用存在很多情形，比如机械故障等待费用、病人就诊等待费用，队列过长失掉潜在的顾客的损失，只能依赖于调查和历史数据。 服务水平也可以由不同形式来表示，主要是平均服务率μ(代表服务机构的服务能力和经验)、服务台个数c，以及排队系统容量，服务水平也可以以服务强度ρ来表示。 常用的方法：离散变量常用边际分析法，对于连续变量常用经典的微分法，对于复杂问题还可以用非线性规划和动态规划的方法。 * M/M/1模型中最优服务率 μ 1. M/M/1模型 取目标函数z为单位时间服务成本与顾客在系统逗留费用之和的期望值 z=csμ+cwLs 其中cs为当μ*=1时服务机构单位时间的费用，cw为每个顾客在系统停留单位时间的费用。 将上式代入Ls之值代入得 为了求极值，先求 , 然后令其为0， * 2 系统容量为N的情形 系统如果已经有 N 个顾客，则后来的顾客即被拒绝，则 PN——被拒绝的概率(损失率)；1- PN——能接受服务的概率； λ(1- PN)——单位时间进入服务系统的平均顾客数量。在稳态下，它等于单位时间内实际服务完成的平均顾客数。 设每服务1人能收G元，则单位时间收入的期望为λ(1- PN)G元. 纯利润 为了求极值，先求 , 然后令其为0，得 求解μ*通常非常困难，可以通过数值计算的办法来求解，或者对N做ρ的函数曲线，对于给定的G/cs，根据曲线求出μ*/λ. * 3 顾客源为有限的情形 仍然按照机械故障问题来考虑。设共有m台机器，各台连续运转时间服从负指数分布。有1个修理工人，修理时间服从负指数分布。当服务率μ=1时的修理费用cs，单位时间每台机器运转可得G元。平均运转台数为m-Ls，所以单位时间纯利润为 对上式直接求解μ*通常非常困难，通常的办法是，在服务率上依次增加一定单位的值，进而计算出不同服务速度下的 ，进而代入上式来计算纯利润，通过比较确定μ*. * (M/M/c):(GD/∞/∞)模型中最优服务台个数 c 在稳态条件下，单位时间的费用（成本、利润或者成本+等待费用）函数的期望函数为 G为每服务1人的收入, 为单位服务成本, 为顾客等待费用。则根据问题性质，两种方法确定最优服务台数： (1)可以运用边际分析方法，即在每次增加1个服务台，即计算排队长度，根据上述公式计算目标函数结果，再计算每增加一个服务台的的目标函数与前一次的目标函数的差值，这个差值即为边际收入，边际收入最大的那个服务台数即为最优服务台个数。 (2)每次增加1个服务台，直接计算目标函数结果，选择合适的函数目标所对应对应的服务台个数为最优值。 * 一家有多个员工的工具库，交换工具的请求按照泊松分布发生，每小时有17.5个请求. 每个员工每小时平均办理10个请求. 工具库雇用1名新员工的工资是$12, 每小时每台等待车床的生产损失为$50, 求该工具库最优的员工数量. 上述问题对应着M/M/c模型，要确定c的最优值. 费用模型为 , 每小时λ=17.5个请求和每小时μ=10个请求. 注意到当cλ/μ时，排队系统处于稳态，依次增加服务台个数，计算Ls及成本，结果表明，最优员工数为4. c Ls z 2 7.467 397.35 3 2.217 146.85 4 1.842 140.10 5 1.769 148.45 6 1.754 159.70 * 12.10 排队网络 当一组资源由一组顾客共享时形成了排队网络。每个资源表示一个可能有多个服务台并行工作的服务中心。如果一个到达的顾客发现一个特定的中心繁忙，他可能加入该中心的队列等候服务(也可能离开该队列去寻找其他类型的服务). 在一站服务结束后，该顾客可能转入另一个服务中心，或者重新进入同一个中心，或者离开系统。 * 在串连队列中, 一旦一个顾客进入系统, 他将必须留在系统中直到接受了全套服务。通常, 每个服务台前都运行等候, 前面讨论的M/Ek/1模型是这种串连模型的特例, 在M/Ek/1模型中除了第一个服务台前可以有等候队列, 其他的服务台是不允许有等候的, 在这种情况下, 必须是n个服务项目都结束以后, 一个新的顾客才运行进入系统