数论难点突破题库371.00KB.doc

数论在重点中学招生考试占极为重要的位置。如讲义中的46题质数操作题刚被西城实验中学培训部选拔学生时用过。现将本站数论专题四次专题课的讲义奉献给大家。如有疑问致电010 马到成功奥数网讲义-数论难点突破题库 　　数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛尤其是华校的各类考试中，数论问题总是占有相当大的比重。 小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。特别地，如果r=0，那么a=bq。这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 　　其中p1＜p2＜…＜pk为质数，a1，a2，…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。（1）式称为n的质因数分解或标准分解。 4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。 5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。 下面，我们将按解数论题的方法技巧来分十二类讲解。一、进位制突破： 将14和8用三进制表示，并计算其和与积。 用a，b，c，d，e分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果（ade）5，（adc）5，（aab）5是由小到大排列的连续正整数，那么（cde）5所表示的整数写成十进制的表示是多少？ 算式1534×25=43214是几进制数的乘法？ 设1，3，9，27，81，243是6个给定的数，从这6个数中取出若干个数，每个数至多取一次，然后将取出的数相加得到一个和数，这样共可得到63个不同的和数，把这些数从小到大排列起来依次是1，3，4，9，10，12，......，那么其中第39个数是多少？ 计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0—9和字母A—F共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表： 十六时制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=____________ 一种细胞，每隔1小时死亡2个，剩下的每个活细胞分裂为2个新细胞。如果最初有7个活细胞，问10(100)小时后有多少个活细胞？ 公元前后，居住在墨西哥东部尤卡坦半岛的玛雅人的记数法是二十进制。他们基本的数字符号仅有两个：“”和“一”。“”来自玉米、豆子或卵石的形状，表示1；“一”是豆荚的形状，表示5。用这两个符号的上、下排列，组成了1～19各个数字(如图)。 其数字的组成法则是把单元数字符号由 下向上记在一行。例如，代表的数为729请问 代表的数是什么？ 二、取整计算 求方程19「x」-96｛x｝=0解的个数。 三、转化变形与提倍法 在数论问题中，我们经常需要用一些代数式来表示一些数及数与数之间的关系。通过对这些代数式的恰当变形，再结合数论中的一些基本知识，可以很好地解决一些看似复杂的问题。尤其变形成分数分拆更是在华校的最近几次考试中每考必有。 若=，其中a,b都是4位数，且ab，那么满足上述条件的所有数对（a,b）分别有哪些？a,b的和最小是多少？(此问为2005年全国小学奥赛最近考题) 已知三个连续的自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除。那么，这三个自然数中最小的一个是 。 在1，2，3，…，1994，1995这1995个数中找出所有满足下面条件的数a来：1995+a能整除1995×a。 12和60是很有趣的两个数，这两个数的积恰好是这两个数的和的10倍： 12×60＝720,12＋60＝72。 满足这个条件的正整数还有哪些？ 对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”例如70与30，那么在1，2，……，16这16个整数中，有好数多少对？（此题为导引数论三第4题） 对于一