浅析极限在的条件及其应用毕业论文.docVIP

引 言 在数学分析中,极限思想可以有效的处理各种复杂的数学问题，并能够准确、简便的得到结果，在极限的概念下，许多问题可以在无限的情况下得以解决，并且这个概念贯穿始终。极限的概念在数学分析解题中起重要的作用。然而很好的判别极限的存在，知道极限存在的条件，是讨论极限的最基本方法，首先我们要从这个概念出发，展开讨论。 一 极限的定义 1.1极限的定义 1.1.1数列极限的定义 在文献[1]中对数列以及函数的极限的定义做了如下叙述： 定义1.1.1 设为数列,为定数.若对（不论多么小）,总，使得当时都有成立，则称数列{}收敛于,定数为数列的极限,并记作，或（）. 在数列的极限定义中,我们应该注意以下几点: 1、的任意性——衡量数列通项与定数的接近程度的,除要求为正以外,无任何限制.然而,尽管具有任意性，但一经给出，就应视为不变.（另外，根据具有的任意性， 等也具有任意性，它们也可代替）. 2、 是随的变小而变大的，是的函数，即是依赖于的.在解题中，等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个，使得当时，有 就行了，而不必求最小的. 3、“当时，有” 的几何意义，（数形结合的思想方法） 可知： 故“当时，有”的几何意义是：当时，也就是数列的所有下标大于的项都落在邻域内，即区间内，而在邻域之外，数列中的项至多只有项（有限项），如下图所示: 由的任意性,即区间的长度可以任意小，但总存在，使得当时，数列中所有项都落在此区间，这就是“数列的项无限地趋近于某一个常数”的意义. 由上面的分析,我们可以看出,对于任意的,落在邻域之外数列中的项只有有限个,设这个有限项的最大下标为,则当时有,即当时有.成立时得到数列极限的另一等价的定义:任给的,若在之外数列中的项至多只有有限个,则称数列收敛于极限. 1.1.2一元函数极限的定义 在文献[1]中函数极限的几类定义如下: 趋于∞时函数的极限 定义1.1.2.1 设为定义在上的函数,为定数.若对，正数,使得当时有 , 则称函数当趋于时以为极限,记作 或 定义1.1.2.1 设是定义在(即)上的函数,为定数.若对,正数,使得当时有 则称当趋于时以为极限,记作 或 趋于时函数的极限 定义1.1.2.2 (函数极限的定义) 设函数在点的某空心邻域内有定义,为定数. 若对， ()，使得当时有 则称函数当趋于时以为极限，记作 或 三、单侧极限 定义1.1.2.3 设函数在（或)内有定义,为定数.若对， (），使得当 (或)时有 则称数为函数当x趋于 (或）时的右(左）极限,记作 （） 或 () 右极限与左极限统称为单侧极限.常把在点的右、左极限记作、.即= ，= . 在以上定义叙述中,利用在一点的极限与单侧极限,有如下判断极限的存在条件 . 以上的定义叙述我们知道,它们都可以成为极限存在的条件来解决极限的相关问题.下面简单介绍二元函数的极限. 1.1.3 二元函数极限的定义 与一元函数一样,我们研究二元函数的存在条件,首先也要从极限定义入手,在动点趋近于某定点时的极限情况;对一元函数而言,考虑函数在点的变化趋势时，只是在数轴上考虑自变量从左右两边的趋近情形,而对二元函数来说,由于定义域是平面点集,所以考虑动点变化趋势时,就要在区域上考虑,如趋近于定点时,方式可以多种多样,故此研究要复杂得多,这也是与一元函数的不同之处.下面我们给出二元函数极限的定义. 定义1.1.3.1 设二元函数在点集上有定义,是平面上一定点（它可以属于也可以不属于）,是常数,若,对，当，（或）时，有 成立,则称函数当趋于时有极限,并且是它的极限值.记为： 或 为了区别一元函数与二元函数的极限,我们把二元函数的极限也称为二重极限. 以上给出的定义，均可作为极限存在的条件，一般先讨论并给出数列极根的定义, 在此基础上进一步研究函数的极限问题. 然而在极限的定义中都涉及到具体的极限值, 这为我们研究极限问题带来了一定的局限性, 因为即使数列或者函数的极限存在, 也不是事先可以知道的,进一步我们还将下面将给出判定极限存在条件 这些条件使我们判断极限是否存在的方法更加多样化. 二 极限存在的条件 2.1 数列极限的存在条件 文献[2]中给出数列极限的存在条件叙述如下： 定理2.1.1在实数系中,有界的单调数列必有极限. 对于此定理的证明在这将不在叙述,给出此定理之后,为以后数列极限存在的证明提供了简便. 例1:利用单调有界原理证明下列数列收敛 证明:由于而,即数列是递减列,由 ,数列单调有界,因此收敛. 设,已知,即,两边求极限得: 得;所以. 在我们讨论的有些极限问题中常常需要先判断数列或函数的收敛性,,再求解其极限,也可以从数列或函数自身出发,寻求其收敛的条件.对数列而言,有著名的柯西收敛准则: 定理2