2013版高中全程复习方略配套课件：2.12导数在研究函数中的应用和生活中的优化问题举例（人教A版·数学理）福建专用.pptVIP

【例3】(2011·山东高考)某企业拟 建造如图所示的容器(不计厚度，长 度单位：米)，其中容器的中间为圆 柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 　　立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积 有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部 分每平方米建造费用为c(c＞3)千元.设该容器的建造费用为 y千元. (1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r. 【解题指南】本题为应用题，(1)先求出l和r的关系，再根据问题情境列出函数解析式，注意函数的定义域.(2)利用导数求函数的最值.先求导，再判断函数的单调性，然后根据单调性求出极值，再由函数的定义域求出最值. 【规范解答】(1)因为容器的容积为　　立方米， 所以 解得　　　　　由于l≥2r, 因此0＜r≤2. 所以圆柱的侧面积为 两端两个半球的表面积之和为4πr2, 所以建造费用　　　　　　　　　定义域为(0,2]. 2.导数法求函数单调区间的一般步骤 第一步：求定义域：求函数y=f(x)的定义域 第二步：求根：求方程f′(x)=0在定义域内的根 第三步：划分区间：用求得的方程的根划分定义域所在的区间 第四步：定号：确定f′(x)在各个区间内的符号 第五步：结果：求得函数在相应区间上的单调性，即得函数y=f(x)的单调区间. 【提醒】当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f′(x)0(或f′(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间. 【例1】(1)(2011·山东高考)函数　　　　　 的图象大致是 ( ) (2)(2012·景德镇模拟)已知f(x)=lnx: ①设 求F(x)的单调区间； ②若不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4对任意a∈[-1,1]，x∈[0,1]恒成立，求m的取值范围. 【解题指南】(1)排除法与求导相结合，根据导数与函数单调性 的关系判断. (2)由题意只需解不等式F′(x)＞0和F′(x)＜0即可得到单调 区间；原不等式恒成立可转化为 恒成立， 进一步转化为 成立. 【规范解答】(1)选C.当x=0时，y=0，排除A. 当x2π时， 排除D. ∵由 得 在满足上式的x的区间内，y是 增函数. 由 得 在满足上式的x的区间内，y是减 函数, ∴由余弦函数的周期性知，函数的增减区间有无数多个, ∴B不正确，C正确. (2) 定义域为：(-2,-1)∪(-1,+∞). 令F′(x)＞0，得单调增区间为(-2,- )和( ,+∞) 令F′(x)＜0，得单调减区间为(- ,-1)和(-1, ) ②不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4化为： ln(x+1)≤ln(2x+1)-m2+3am+4即 现在只需求 的最大值和y=3ma+4-m2 (a∈[-1,1])的最小值. 因为 在[0，1]上单调递减, 所以 的最大值为0, 而y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])是关于a的一次函数，故其最小值只能在a=-1或a=1处取得,于是得到： 解得0≤m≤1或-1≤m＜0， 所以m的取值范围是[-1，1]. 【互动探究】若本例(2)第①问中条件改为“F(x)=f(x+2)-kx在定义域内是单调递增函数”，则k的取值范围是______. 【解析】由题意 在(-2,+∞)上恒成立， 恒成立，∴k≤0. 答案：k≤0 【反思·感悟】1.求函数的单调区间时，切记定义域优先的原则，一定要注意先求定义域. 2.恒成立问题的处理，一般是采用“分离参数，最值转化”的方法. 【变式备选】已知f(x)=ex-ax-1. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)是否存在a,使f(x)在(-∞，0］上单调递减，在［0，+∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 【解析】f′(x)=ex-a. (1)若a≤0，f′(x)=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增. 若a0,令ex-a≥0,得ex≥a,x≥lna. ∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). (2)方法一：由题意知ex-a≤0在(-∞，0］上恒成立. ∴a≥ex在(-∞，0］上恒成立. ∵ex在(-∞，0］上为增函数. ∴当x=0时，ex最大为1. ∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞)上恒成立. ∴a≤ex在［0