2014人教A版数学一轮复习指导课件 第二章 第十一节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例.pptVIP

一、函数的单调性 1．f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件吗？ 提示：f′(x)＞0(或f′(x)＜0)仅是函数f(x)在这个区间内为增函数(或减函数)的充分条件而非必要条件，如f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上为增函数，但f′(x)＝3x2≥0，即必要性不成立． 二、函数的极值 1．函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数y＝f(x)的 ，f(a)叫做函数y＝f(x)的 ． 2．函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数y＝f(x)的 ，f(b)叫做函数y＝f(x)的 ．极小值点、极大值点统称为 ，极大值和极小值统称为 ． 3．求函数极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是f(x)的一个极小值． (2)如果在x0附近左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是f(x)的一个极大值． (3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号相同，那么f(x0)不是函数的极值． 2．已知函数y＝f(x)，若f′(x)在x＝a处有f′(a)＝0，则点a一定是函数的一个极值点吗？ 提示：不一定．只有当函数在点a两侧的单调性不同时a才是函数的极值点． 三、函数的最值 1．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 ，那么它必有最大值和最小值． 2．求函数y＝f(x)在[a，b]上最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值、最小的一个是最小值． 3．极值点一定是最值点吗？ 提示：函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是对函数在整个区间上的函数值的比较．函数的极值不一定是最值，最值点也不一定是极值点． 四、生活中的优化问题 1．生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 ．导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大(小)值的强有力的工具． 2．解题的基本思路 3．用导数解决实际问题的注意事项 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值舍去． (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使得f′(x)＝0的情形，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值，就是问题的最优解． (3)在列函数关系式解决优化问题中，不仅要注意函数关系式表达要恰当，还要注意自变量的实际意义，依此确定定义域． 2．(文)设f(x)＝x3－12x，则f(x)的极值情况是(　　) A．极大值是f(2)，极小值是f(－2) B．极大值是f(－2)，极小值是f(2) C．只有极大值，无极小值 D．只有极小值，无极大值 解析：由条件知f′(x)＝3x2－12＝3(x2－4)＝3(x－2)(x＋2)．故当x－2或x2时，f′(x)0，f(x)单调递增；当－2x2时，f′(x)0，f(x)单调递减，∴x＝－2是极大值点，x＝2是极小值点． 答案：B 5．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________. 解析：由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，且f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，M－m＝32. 答案：32 【考向探寻】 1．利用导数研究函数的单调性； 2．已知函数的单调性，求有关参数的取值范围． ①求k的值； ②求f(x)的单调区间； ③(理)设g(x)＝(x2＋x)f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数．求证：对任意x0，g(x)1＋e－2. ③(文)设g(x)＝xf′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数．求证：对任意x0，g(x)1＋e－2. (1)(理)构造函数，判断函数的单调性，利用最值证明不等式． (1)(文)确定定义域，利用导数f′(x)0求递减区间． (2)①求导数，利用f′(1)＝0求k； ②求定义域，利用导数求出单调区间； 所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2， 故1－x－xln x≤1＋e－2.………………………………9分 设φ(x)＝ex－(x＋1)． 因为φ′(x)＝ex－1＝e