2014届湖北高考数学（文）一轮复习专项同步课件：2.12《导数在研究函数中的应用和生活中的优化问题举例》（新人教A版）.pptVIP

【满分指导】函数综合题的规范解答 【典例】(12分)(2011·湖南高考)设函数f(x)=x- -alnx (a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2, f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由. 【解题指南】(1)对f(x)求导，就a的取值分类讨论； (2)假设存在a满足条件，判断条件是否满足. 【规范解答】(1)f(x)的定义域为(0,+∞). f′(x)= ………………………… 2分 令g(x)=x2-ax+1,其判别式Δ=a2-4. ①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增. ………………………………………………………3分 ②当a＜-2时，Δ＞0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,+∞)上，f′(x)＞0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增. ……………4分 ③当a＞2时，Δ＞0,g(x)=0的两根为 当0＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0； 当x＞x2时，f′(x)＞0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减. ……………………………6分 (2)由(1)知，a＞2. 因为f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+ -a(lnx1-lnx2)， 所以k= ………………8分 又由(1)知，x1x2=1.于是k=2-a· 若存在a，使得k=2-a,则 即lnx1-lnx2=x1-x2，亦即x2- -2lnx2=0(x2＞1)(*) ……………………………………………………10分 再由(1)知，函数h(t)=t- -2lnt在(0,+∞)上单调递增，而 x2＞1，所以x2- -2lnx2＞1- -2ln1=0.这与(*)式矛盾. …………………………………………………………11分 故不存在a，使得k=2-a. ………………………………12分 【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议： 失 分 警 示 在解答本题时有两点容易造成失分： (1)利用导数判断函数单调性和求极值(或最值)不熟练,忽视a的值对f′(x)符号的影响. (2)对存在性命题的解题方法不熟悉，不能准确、有效地确定解题方法. 备 考 建 议 解决函数的综合问题时，还有以下几点在备考时要高度关注： (1)函数的定义域、单调性、最值(极值)的求解应熟练掌握； (2)与数列、三角、解析几何、不等式等综合时，能够迅速、准确地进行转化； 另外需要较强的运算能力，才能快速正确地解决一些函数综合问题. 1.(2011·湖南高考)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图 象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( ) (A)1 (B) (C) (D) 【解析】选D.由题意|MN|=t2-lnt(t＞0)，不妨令h(t)=t2- lnt，则h′(t)=2t- 令h′(t)=0解得t= 因为t∈ (0, )时，h′(t)＜0，当t∈( +∞)时，h′(t)＞0，所 以当t= 时，|MN|达到最小. 2.(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)=ex(x＞0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是__________. 【解析】设P(x0, ),则l:y- = (x-x0), ∴M(0,(1-x0) )，过点P作l的垂线, 垂线方程为y- =- (x-x0), ∴N(0, +x0 ), ∴t= [(1-x0) + +x0 ]= + x0( - )，t′= ( + )(1-x0), 所以，t在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， ∴x0=1时,tmax= 答案： 3.(2011·广东高考)函数f(x)=x3-3x2+1在x=_______处取得极小值. 【解析】f′(x)=3x2-6x=3x(x-2), ∴f(x)的单调递增区间为：(-∞,0)和(2,+∞),递减区间为(0,2),∴f(x)在x=2处取得极小值. 答案：2 利用导数研究函数的单调性 【方法点睛】1.导数在函数单调性方面的应用 (1)