2014届高考数学一轮复习热点考向聚焦课件：第二章第十一节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例.pptVIP

利用导数解决生活中的优化问题 (1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意确定出函数关系式中自变量的取值范围． (2)要注意求得结果的实际意义，不符合实际的值应舍去． (3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点． 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)＝________. 而在本题中，当f(x)＝x3－3x2＋3x＋9时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2，此时，尽管有f′(1)＝0成立，但是在x＝1的左右两侧的导数的符号均为正——同号，也就是说，x＝1不是函数f(x)＝x3－3x2＋3x＋9的极值点． 极值判断的步骤中要检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在根的右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值． 所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2， 故1－x－xln x≤1＋e－2.………………………………9分 设φ(x)＝ex－(x＋1)． 因为φ′(x)＝ex－1＝ex－e0， 所以x∈(0，＋∞)时， φ′(x)0，φ(x)单调递增， φ(x)φ(0)＝0， (2)导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤： ①求f′(x)． ②确认f′(x)在(a，b)内的符号． ③作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数． 已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)，转化为不等式恒成立求解． 【活学活用】 1．已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 解：(1)由已知f′(x)＝3x2－a， ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数， ∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立． 又∵3x2≥0，∴只需a≤0. 又∵当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0， 即f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0. (2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立， 得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立． ∵－1＜x＜1，∴3x2＜3，∴只需证a≥3. 当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)， 在x∈(－1,1)上，f′(x)＜0， 即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3. 故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减. 【考向探寻】 1．求函数的极值与最值． 2．含参数的函数的极值、最值问题． 题号 分析 (1) 利用根的分布解题或由f′(x)＝0求得x，令0x1求得b范围． (2) ①根据函数的单调情况求解；②将问题转化为m≤aln x－x恒成立，进而只需求aln x－x的最小值即可，为此构造一次函数h(a)＝aln x－x解题. (1)求函数极值的一般思路 (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间内的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的，函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内一点处取得，最值则可以在端点处取得，有极值未必有最值，有最值未必有极值，极值可能成为最值． 本例(2)中对于含有双参数的问题，在解题中要明确谁是主参数，以进一步将问题转化为常见函数的问题来解决． 【活学活用】 2．(理)已知f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e]，其中e是自然常数，a∈R. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性、极值； (2)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 2．(文)已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)． (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围． (2)∵f(x)在x＝－1处取得极值， f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0， ∴a＝1， ∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3. 由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1. 由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1.在x＝1处取得极小值f(1)＝－3. ∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点， 结合f(x)的图像可知，m的取值范围是(－3,1). 【考向探寻】 利用导数求表示实际问题的函数的最值． 第二章　函数、导数及其应用 第十一节　导数在研究函数中的应用与 　生活中的优化问