高二数学同步作业：第一章 解三角形 1.2 应用举例 第一课时《正、余弦定理在实际中的应用》（新人教A版必修五）..doc

1.2　应用举例 【选题明细表】 知识点、方法 题号 测量距离问题 1、2、3 测量高度问题 7、8 测量角度问题 4、6、9、11 其他问题 5、10 基础达标 1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为 4 m,A=30°,则其跨度AB的长为(　D　) (A)12 m (B)8 m (C)3 m (D)4 m 解析:由正弦定理得=, 由题意得C=120°,B=30°, ∴AB===4(m). 故选D. 2.如图,为了测量A、B两点间的距离,在地面上选择适当的点C,测得AC=100 m,BC=120 m,∠ACB=60°,那么A、B的距离为(　B　) (A)20 m (B)20 m (C)500 m (D)60 m 解析:由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 60° =1002+1202-2×100×120× =12400, ∴AB=20(m),故选B. 3.(2014濮阳高二期末)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为(　B　) (A)a km (B)a km (C)a km (D)2a km 解析:由题意得∠ACB=120°, AB2=a2+a2-2a2cos 120°=3a2, ∴AB=a.故选B. 4.在静水中划船的速度是每分钟40 m,水流的速度是每分钟20 m,如果船从岸边A处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为(　B　) (A)15° (B)30° (C)45° (D)60° 解析:如图, ∵sin∠CAB==, ∴∠CAB=30°,故选B. 5.(2014临沂质量抽测)一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后,又测得灯塔在货轮的北偏东45°,则货轮的速度为(　B　) (A)20(+)海里/时 (B)20(-)海里/时 (C)20(+)海里/时 (D)20(-)海里/时 解析:由题意得∠SNM=105°,∠NSM=30°, ∴=, MN==, 货轮速度v===20(-).故选B. 6.张帅在操场上某点B处测得学校的科技大楼AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2θ.继续前进10 m至D点,测得顶端A的仰角为4θ,则θ等于　　　　.? 解析:画出示意图,在△ABE中, AC=BC=30 m,CD=DA=10 m, ∴cos∠ACD=cos 2θ==?θ=15°. 答案:15° 7.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30米,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB=　　　　. ? 解析:由题意可知在△BCD中, ∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30, 则∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°. 由正弦定理可得 BC===15. 又在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°, ∴AB=BC·tan∠ACB=15×=15(米). 答案:15 米 能力提升 8.如图,某城市的电视台发射塔CD建在市郊的小山上,小山的高BC为35米,在地面上有一点A,测得A,C间的距离为91米,从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45°,则这座电视台发射塔的高度CD为　　　　. ? 解析:AB==84, tan∠CAB===. 由=tan(45°+∠CAB)==. 得CD=169. 答案:169米 9.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船速度是乙船速度的倍,问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船?此时乙船行驶了多少海里? 解:设甲船沿直线行驶与乙船同时到C点, 则A、B、C构成△ABC,如图.设乙船速度为v,则甲船速度为v,设到达C处用时为t. 由题意,BC=vt,AC=vt,∠ABC=120°. 在△ABC中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 120°, ∴3v2t2=a2+v2t2+avt. ∴2v2t2-avt-a2=0,解得vt=-(舍去)或vt=a. ∴BC=a,在△ABC中AB=BC=a, ∴∠BAC=∠ACB=30°,60°-30°=30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追乙船,此时乙船行驶了a海里. 10.如图,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B、D两点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B