高二数学教案：《圆的切线的性质及判定定理》（新人教A版选修4-1）..doc

三圆的切线的性质及判定定理 课标解读 1.掌握切线的性质定理及其推论，并能解决有关问题． 2.掌握切线的判定定理，会判定直线与圆相切. 1．切线的性质定理及推论 图2－3－1 (1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 如图2－3－1，已知AB切O于点A，则OAAB. (2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． (3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 1．“以圆的两条平行切线的切点为端点的线段是圆的直径”这句话对吗？为什么？ 【提示】　正确．如图AB、CD分别切O于E、F，连接EO并延长交CD于F′，AB是O的切线，OE⊥AB.∵AB∥CD，OF′⊥CD，F′为切点，F′与F重合，即EF是O的直径． 2．判定直线与圆相切共有哪几种方法？ 【提示】　判定直线与圆相切共有三种方法： (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线； (3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线． 3．从圆的切线的性质定理及推论，你能得出怎样的结论？ 【提示】　分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可以得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个．垂直于切线；过切点；过圆心．于是在利用切线性质时，通常作的辅助线是过切点的半径． 圆的切线性质的应用 图2－3－2 　如图2－3－2所示，已知AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，AC平分DAB，ADCD. (1)求证：OCAD； (2)若AD＝2，AC＝，求AB的长． 【思路探究】　(1)要证OCAD，只需证明OCCD. (2)利用ADC∽△ACB可求得． 【自主解答】　(1)如图所示，连接BC. CD为O的切线， OC⊥CD. 又ADCD， OC∥AD. (2)∵AC平分DAB， DAC＝CAB. ∵AB为O的直径，ACB＝90°. 又ADCD，ADC＝90°， ADC∽△ACB. ∴＝，AC2＝AD·AB. AD＝2，AC＝，AB＝. 1．利用圆的切线的性质来证明或进行有关运算时，常用连接圆心与切点的半径与切线垂直这一理论产生垂直关系． 2．常作的辅助线： (1)连接切点与圆心的半径． (2)构造直径所对的圆周角． 如图2－3－3，在ABC中，AB＝AC，以AB为直径的O交BC于D，过D作O的切线交AC于E.求证：DEAC. 图2－3－3 【证明】　如图，连接OD、AD. AB为O直径，AD⊥BC. ∵AB＝AC，即ABC为等腰三角形， AD为BC边上的中线， 即BD＝DC.又OA＝OB， OD为ABC的中位线． OD∥AC. ∵DE切O于D，OD⊥DE. ∴DE⊥AC. 圆的切线的判定 　如图2－3－4，AB是O的直径，AE平分BAF交O于点E，过E作直线与AF垂直，交AF的延长线于点D，且交AB的延长线于点C.求证：CD是O的切线． 图2－3－4 【思路探究】　利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键是找出定理的两个条件：过半径的外端；该直线与某一条半径所在的直线垂直． 【自主解答】　如图，连接OE. OA＝OE，1＝2. 又AE平分BAF， 2＝3. ∴∠1＝3，OE∥AD. ∵AD⊥CD，OE⊥CD. ∴CD与O相切于点E. 1．解答本题的关键是证明OECD，而已知ADCD，故只需证明OEAD. 2．判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法 (1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”； (2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”． 图2－3－5 　(2013·洛阳模拟)如图2－3－5，直角梯形ABCD中，A＝B＝90°，ADBC，E为AB上的点，DE平分ADC，CE平分BCD，以AB为直径的圆与CD有怎样的位置关系？【解】　如题图，过E作EFCD于F， DE平分ADC，CE平分BCD， A＝B＝90°， AE＝EF＝BE＝AB. 以AB为直径的圆的圆心为E， EF是圆心E到CD的距离，且EF＝AB， 以AB为直径的圆与边CD是相切关系. 圆的切线性质和判定定理的综 合应用 　如图2－3－6，AB为O的直径，D是的中点，DEAC交AC的延长线于E，O的切线BF交AD的延长线于点F. 图2－3－6 (1)求证：DE是O的切线； (2)若DE＝3，O的半径为5，求BF的长． 【思路探究】　(1)利用圆的切线判定定理证明． (2)作DGAB于G，利用ADG∽△AFB求解． 【自主解答】　(1)连接OD，D是中点． 1＝