(计算机学院)集合论-第一章.ppt

3.3 对称差 一、定义 定义4 设A，B是两个任意集合，则差集A\B与B\A的并集称为集合A与集合B的对称差，记为A?B（或A⊕B）。即 A?B=(A\B)?(B\A) 二、性质 定理5 设A,B,C是三个任意集合，S是全集。则 （1）交换律成立，即 A?B=B?A （2）结合律成立，即 (A?B)?C=A?(B?C) （3） A?A=￠ （4） A??=A, A?S=S\A=AC （5） A?(A?B)=B （6）分配律成立，即 A?(B?C)=(A?B)?(A?C) §4 余集运算 定义1 设S是集合，A?S，则差集S\A称为集合A对集合S的余集，记为AC。即AC = S\A。 定理1 设A是集合，S是全集，则 （1）SC=￠ ； （2）￠C=S；（3）A?AC=S （4）A?AC=￠；（5）AC=S\A=A?S 并与交运算与余集的关系 定理2 设A,B是两个任意集合,则 1.(A?B)C= AC ?BC （1） 2.(A?B)C= AC ?BC （2） 3.若A?B，则AC ?BC 4.(AC)C=A （1）、（2）称为De Morgan公式。 把De Morgan公式推广到多个集合上去。 3.5文氏图(文氏图是数学上常用的方法) 集合间的关系和有关的运算可以用文氏图给予形象的描述。 文氏图的构造方法如下： （1）首先画一个大矩形表示全集S，矩形内的点表示全集中的元素； （2）在矩形内画一些圆表示不同的集合，用圆内的点表示相应的元素。于是用文氏图就可以表示集合间关系的集合和集合的五种基本运算了。 优点：形象直观、易于理解； 缺点：理论基础不够严谨，因此只能用于说明，不能用于证明。 3.6对偶原理 利用De Morgan公式，余集的基本性质和性质（3）若A?B，则AC ?BC，就可以推出对偶原理。 对偶原理：若有关集合的并、交及余集运算的某一关系式成立，则将式中记号∪、∩、?、?：分别换成∩、∪、?、?，等号“=”不变，并将式中每一个集合换成它的余集。由此得到的新的关系式也一定成立。 例: 若(AC ?B)∪C?B 成立，则(A∪BC)?CC?BC成立。 §5 笛卡儿乘积 5.1序对（二元组） 一、序对 定义1 两个对象a和b（允许a＝b）按着一定的次序排列的整体称为一个二元组或序对。 若a排在b的前面，则这个序对就记为（a,b）[或a,b]。 a－称为序对（a,b）的第一个元素（分量） b－称为序对（a,b）的第二个元素（分量） 二、序对与集合的区别 序对是由有次序的两个对象组成的，因此序对与含有两个对象的集合有区别。 (1)集合{a,b}的元素间没有次序（先后）关系，{a,b}与{b,a}是同一个集合。但(a,b)与(b,a)在 a≠b的情况下应看成是不同的两个序对。 （2）集合{a,b}中a≠b ，而序对(a,b)中a与b可以相等，即a=b。 （3）既然(a,b)与(b,a)在a≠b时应看成是不同的两个序对。于是 (a,b)=(c,d)?a=b,c=d。 5.2笛卡儿乘积 一、定义 定义3 设A与B为两个任意集合，则集合 {(a,b)?a?A，b?B} 称为A与B的笛卡儿乘积，记为A×B。 二、例题 A={1,2,3},B={x,y} 三、说明 1. A×B与A,B次序有关，故A×B≠B×A； 什么条件下满足交换律呢？ P25设A,B为集合，证明：A×B=B×A充要条件是下列三个条件至少一个成立：（1）A=￠；（2）B=￠；（3）A=B。 2.不满足封闭性； 3.不满足结合律； 若A,B,C都不是空集时，结合律不成立。即 （A×B）×C≠A×（B×C） 若A,B,C中有一个是空集￠时，则上式成立，即 （A×B）×C＝A×B×C）= ￠ 四、性质(笛卡儿乘积运算与并、交、差运算的关系) 定理1 设A,B,C是三个任意集合，则 （1） A×(B?C)=(A×B)?(A×C) （2） A×(B?C)=(A×B)?(A×C) （3） A×(B\C)=(A×B)\(A×C) （4） A×(B?C)=(A×B)?(A×C) 5.3 n元组 三元组就是三个对象按一定次序组成的整体，若第一个分量是x，第二个分量是y，第三个分量是z，则这个三元组就记为（x,y,z）。 n元组是n个元素按一定顺序排列组成的整体，若第1个分量为x1，第2个分量为x2，…，第n个分量为xn，则这个元组就记为： （x1,x2,…,xn）。 两个n元组（x1,x2,…,xn）与（y1,y2,…,yn）是相等的记为：