9工程力学(下)—压杆稳定1.ppt

m称为压杆的长度因数, 与杆端约束情况有关。 对于各种杆端约束情况, 细长中心受压等直杆临界力的欧拉公式可写成统一的形式： ml称为原压杆的相当长度。 注意: 若杆端在各个方向的约束情况相同(如球形铰等), 则I应取最小的惯性矩。 各种支承条件下等截面细长压杆临界力欧拉公式 支承情况 失稳时挠曲线形状 临界力Pcr欧拉公式 长度系数μ 两端铰支 Pcr A B l μ=1 l 一端固定另端铰支 μ? 0.7 Pcr A B 0.7l C C— 挠曲线拐点 Pcr l 一端固定另端自由 μ=2 2l l 两端固定但可沿横向相对移动 μ=1 0.5l Pcr C— 挠曲线拐点 l C、D— 挠曲线拐点 0.5l 两端固定 μ=0.5 A B C D 图示连杆两端为柱形铰连接。考虑连杆在大刚度平面内弯曲时, 杆的两端可简化为铰支; 考虑在小刚度平面内弯曲时, 则应根据两端的实际固结程度而定, 如接头的刚性较好, 使其不能转动, 就可简化为固定端; 如仍可能有一定程度的转动, 则应将其简化为两端铰支。这样处理比较安全。 1．柱形铰约束 对于杆端与支承处焊接或铆接的压杆, 例如图示桁架腹杆AC、EC等及上弦杆CD的两端, 可简化为铰支端。因为杆受力后连接处仍可能产生微小的转动, 故不能将其简化为固定端。 2．焊接或铆接 这种连接的简化将随着支承套(螺母)长度l0与支承套直径(螺母的螺纹平均直径)d0的比值l0/d0而定。当l0/d01.5时, 可简化为铰支端; 当l0/d03时, 则简化成固定端; 当1.5l0/d03时, 则简化为非完全铰, 若两端均为非完全铰, 取m＝0.75。 3．螺母和丝杠连接 对于与坚实的基础固结成一体的柱脚, 可简化为固定端, 如浇铸于混凝土基础中的钢柱柱脚。 4．固定端 理想的固定端和铰支端约束是不多见的。实际杆端的连接情况, 往往是介于固定端与铰支端之间。 对应于各种实际的杆端约束情况, 压杆的长度系数m值, 在有关的设计手册或规范中另有规定。 在实际计算中, 为了简单起见, 有时将有一定固结程度的杆端简化为铰支端, 这样简化是偏于安全的。 例: 一下端固定、上端自由并在自由端受轴向压力作用的等直细长压杆, 杆长为l。在临界力作用下, 杆失稳时有可能在xy平面内维持微弯状态下的平衡, 其弯曲刚度为EI。试推导其临界力Fcr的欧拉公式, 并求压杆的挠曲线方程。 解：根据杆端约束情况, 杆在临界力Fcr作用下的挠曲线形状如图所示。最大挠度d发生在杆的自由端。由临界力引起的杆任意x横截面上的弯矩为 y 杆的挠曲线近似微分方程: 移项并简化得: y 微分方程的通解为: A, B, k为待定常数。 x＝0时, 得A＝0。又x＝0时, w＝0, 即 得B＝-d, 所以w＝d (1-coskx) 最后由x＝0时, w＝d 代入上式得 y 其最小解kl＝p/2, 得临界力Fcr的欧拉公式 coskl＝0 以k＝p/2l代入w＝d (1-coskx)得压杆的挠曲线方程 y 第9章压杆的稳定 补充 压杆稳定研究简史 大约六七千年前, 我国新石器时代的房屋, 具有代表性的营建方式主要有两种：一种是长江流域多水地区的干阑式建筑(所谓干阑式建筑, 即是体量较大, 下屋架空, 上层铺木板作居住用的一种房屋); 另一种是黄河流域的木骨泥强房屋。这两种营建方式都离不开柱子。 （一） 浙江余姚河姆渡新石器文化遗址的木构榫卯 几千年来, 柱子大多采用圆形和各种正多边形的截面, 尤其值得一提的是“拼合柱”。 除了房屋的柱子, 古代兵器的柄也采用了合理的截面形状。 古希腊人在建造神殿时, 采用了仿生学的方法来确定柱子的尺寸。他们测量男人的足印, 发现足的尺寸大约是身高的1/6。于是他们把这个比例用到柱子上。 补充 压杆稳定研究简史 文艺复兴以来, 人们逐渐开始用实验和理论分析的方法研究柱的承载能力问题。 (二) Leonardo da Vinci做过一些开拓性的工作。他认为: 高度一定的柱的承载能力与其直径的立方成正比。 一端固定、一端自由的压杆临界力公式是L.Euler在1744出版的一本有关变分法的专著指出的, 但当时他得到的结果是错误的。直到1757年出版《关于柱的承载力》的著作时, 才纠正了自己的错误。 补充 压杆稳定研究简史 继Euler之后, J-L.Lagrange在1770-1773年有关柱的形状的论文中, 得出了两端铰支的压杆临界力公式。 1846年, E.Lamarle在《关于木材弯曲的研究报告》中, 具体的讨论了Euler公式的适用范围问题, 对于两端铰支的压杆, 他导出了如下的临界力公式： 在很长一段时期内, Euler和Lagrange得出的公式并未受到工程上的广