2015第三章-平稳随机过程谱分析.ppt

* * 3 为有理函数时的均方值求法 （1）利用 （2）直接利用积分公式 （3）查表法 （4）留数法 * * 预备知识：留数定理 设为 复变量s的函数，且其绕原点的简单闭曲线C反时针方向上和曲线C内部只有几个极点 则： 一阶留数 二阶留数 * * 上式积分路径是沿着 轴，应用留数法时，要求积分沿着一个闭合围线进行。为此，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半园积分。根据留数定理，不难得出 * * 例: 考虑一个广义平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度 求过程的均方值 解: 用复频率的方法来求解。 用 代入上式得用复频率s表示得功率谱密度： * * 因式分解： 在左半平面内有两个极点：-1和-3。于是可以分别计算这两个极点的留数为： 故： * * 3.2 联合平稳随机过程的互谱密度 一、互谱密度 考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)， 它们的样本函数分别为 和 ，定义两个截取函数 、 为： * * 因为 、 都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围 (-T，T)内，两个随机过程的互功率 为:（注意 、 为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均） 由于 、 的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即: * * 注意到上式中， 和 是任一样本函数，因此具有随机性，取数学期望，并令 得： * * 定义互功率谱密度为： 则 * * 同理，有： 且 * * 二、互谱密度和互相关函数的关系 自相关函数 功率谱密度 F 互相关函数 互谱密度 F 定义：对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度 与互相关函数 之间的关系为 即 * * 若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有 即 结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。 * * 三、互谱密度的性质 性质1： 证明： ＝ （令 ） * * 性质2： 证明： （令 ） 同理可证 傅里叶变换存在的条件 第 3章 平稳随机过程的谱分析 * * 本章要解决的问题 随机信号是否也可以应用频域分析方法? 傅里叶变换能否应用于随机信号？ 相关函数与功率谱的关系 功率谱的应用 采样定理 白噪声的定义 * * 3.1 随机过程的谱分析 一 预备知识 1 付氏变换 设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足 在 范围内满足狄利赫利条件 绝对可积，即 信号的总能量有限，即 有限个极值 有限个断点 断点为有限值 * * 则 的傅里叶变换为： 其反变换为： 称 为 的频谱密度，也简称为频谱。 包含：振幅谱 相位谱 * * 2 帕塞瓦等式 即 能量谱密度 * * 二 随机过程的功率谱密度 应用截取函数 * * 当x(t)为有限值时， 的傅里叶变换存在 应用帕塞瓦等式 除以2T 取集合平均 * * 令 ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序 功率Q 非负 存在 （1）Q为确定性值，不是随机变量 （2） 为确定性实函数。 注意： * * 两个结论： 1 表示时间平均 若平稳 2 * * 功率谱密度： 描述了随机过程X(t)的 功率在各个不同频率上的分布—— 称为随机过程X(t)的功率谱密度。 对 在X(t)的整个频率范围内积分，便可得到X(t)的功率。 对于平稳随机过程，有： * * 例：设随机过程 ，其中 皆是实常数， 是服从 上均匀分布的随机变量，求随机过程 的平均功率。 解： 不是宽平稳的 * * * * 功率谱密度和复频率面 （只是记号相同，函数形式不同） 例： * * 三 功率谱密度与自相关函数之间的关系 确定信号： 随机信号：平稳随机过程的自相关函数 功率谱密度。 1 维纳—