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在数学解题中善用数形结合法 罗定中学 沈明 数形结合法贯穿于中学数学教学的始终，无论是代数题还是几何题都可以运用数形结合法，特别是在几何方面运用得较多。运用数形结合法能把复杂的问题简单化，即化繁为简。既然数形结合法如此重要，在这里就此谈谈我个人的见解。 一、一般解题思路的形成 解题是数学学习的核心内容.解题是真正发生数学教育的关键环节，尚未出现解题的数学学习总给人一种尚未深入到实质的感觉。解题是掌握数学，学会“数学地思维”的基本途径.概念的掌握、技能的熟练、定理的理解、能力的培养、素质的提高等都离不开解题实践活动。解题是评价学习的重要方式.尽管不能认为是惟一的方式，也是当前用得最多、操作最方便、公众认可度最高的一种方式。可以这样认为，解题贯穿了认知主体的整个学习生活乃至整个生命历程：上课要做练习题，作业要做作业题，考试要做考试题，竞赛要做竞赛题：小学要解题，中学要解题，大学要解题，参加工作当了数学教师更是一辈子离不开解题（既是内在的个人追求，又是外在的工作需要）。 解题是一种实践活动，波利亚说：“你想学会游泳，你就必须下水，你想成为解题的能手，你就必须去解题”。 那么人的一般解题思路是怎样形成的呢？我认为首先是审题，了解题意，明确已知条件是什么，所求问题是什么；其次是弄清问题与条件之间的内在联系，确定用什么方法去解题；最后按照自己的思路着手解题。 二、用数形结合法解题 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量间的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析???几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参数、合理用参数，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数形结合法在数学的各个分支有着广泛的应用，例析如下： （1）在集合方面的运用 例1：某班有50名学生报名参加A、B两项比赛，参加A项的有30人，参加B项的有33人，且A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人．问：只参加A不参加B的同学有多少人？ 分析：此类问题只进行空洞的分析，很难找到解决问题的切入点，但若能直观地将各部分人数用韦恩图展示出来，则问题将迎刃而解． 解析：设两项比赛都参加的同学组成集合A∩B，并设 其中有x个元素，则各部分人数分布如图1所示，由题意知： (30－x)+x+(33－x)+ 1x +1=50，30－x=9，∴x=21。即只3 参加A不参加B的人数有9人． 点评：利用数形结合的思想可以避开复杂的运算过程， 从而提高解题速度与准确性． （2）在函数方面的运用 例2：已知c＞0，设P：函数y=c在R上单调递减．Q：不等式|x|+|x－2c|＞1的解集为R．如果c符合P和Q，试求c的取值范围． 分析：若本题解决绝对值不等式|x|+|x－2c|＞1采用传统的方法求解，会使问题的解决陷入僵局，但若利用绝对值的几何意义考虑，则将 柳暗花明． 解析：如图2，Q：不等式|x|+|x－2c|＞1的几何 意义为：在数轴上求一点P(x)，使P 到A(0)，B(2c) 的距离之和的最小值大于1．显然P在A左端或B右 端时，|PA|+|PB|＞|AB|；当P在线段AB上时 |PA|+|PB|=|AB|；那么P到A、B两点的最短距离为x 1x．而对于P，因为函数y=c在R上单调递减，所以0lt;clt;1。所以符2 1合条件P和Q的C的取值范围是lt;clt;1。 2|AB|=2c＞1．所以c＞ 点评：解法的关键是将f(x)= |x|+|x－2c|，通过语言转换，转化为具体的形，形使我们把握了f(x)的变化情况． 一般来说，数学语言有三种：文学语言、符号语言、图形语言，在解题中，常常要将一种语言翻译成另一种语言，以刻画和展示命题的本质含义，从而 找到解题途径． 例3：（根据函数的图象确定参数的范围）已知函数f(x)=ax+bx+cx+d的图象如图3，则（ ） A、b∈(-∞，０) B、b∈(０，１) C、b∈(１，２) D、b∈(２，+∞) 32图3