矩阵论解题技巧概述.doc

解题技巧 矩阵的相似变换 判断矩阵A是否是正规矩阵，若果是，则求酉矩阵，使为对角矩阵。 理论依据：（1）A酉相似于对角矩阵的充要条件是A为正规矩阵（即：）。 （2）Hermite矩阵（)，实对称矩阵，对角矩阵等常用矩阵都是正规矩阵。 注：酉矩阵A（，），：先转置，再共轭（虚部取反）。 结论：所以判断矩阵A是否是正规矩阵，只需判断是否成立，若成立，则存在酉矩阵，使为对角矩阵。 （当矩阵中都为实数时，) 解题步骤： 由A为Hermite矩阵（)或实对称矩阵，推出A为正规矩阵。 由求得矩阵的特征值，并求出相应的特征向量。 对特征向量先正交化（不同特征值之间的特征向量两两正交，无需正交化。只有在重根所对应的特征向量之间需要正交化）；然后再单位化（当特征值都不同时只需正交化即可）。 正交化公式： 得酉矩阵U(为单位化之后的向量组成的矩阵），对角矩阵（为特征值所组成的对角矩阵)。 （注：内积计算公式：，尤其注意虚数的计算） 求解矩阵的最小多项式。 理论依据：（1）最小多项式包含A的所有互不相同的特征多项式的因式。 （2）特征多项式必须是零化多项式。 （3）设，是所有互不相同的特征值，则： ，其中是的标准型中含的Jordan块的最高阶数。 解题步骤：（1）先求出的特征多项式 （2）由公式求得（注意是的标准型中含的Jordan块的最高阶数）。 求矩阵的Jordan标准型 理论依据： （1）一阶矩阵块，阶矩阵块 由若干个Jordan块构成的分块对角矩阵称为Jordan矩阵： 设，则与一个Jordan矩阵相似，即存在，使。（Jordan矩阵除Jordan块的排列次序由唯一确定）称为的Jordan标准型。 解题方法：特征向量法（适用于3阶及以下矩阵) （1）如果是的单根特征值，则对应一阶Jordan块； （2）如果是的重特征值，则对应有几个线性无关的特征向量，就有几个以为对角元素的Jordan块；这些Jordan块的阶数之和等于。 （3）由的所有特征值对应的Jordan块构成的Jordan块矩阵即为的Jordan标准型。 求解一阶线性微分方程组如 （） 构造函数模型 令，，，则 求Jordan标准型和相似变换矩阵 由特征多项式得特征值。 对应的重根特征值只有一个线性无关的特征向量，故的相似Jordan标准型为： 由，求得对应特征值为1的广义特征向量 所对应的特征向量，故相似变换矩阵，使得 （3）令，则，解微分方程得，然后由得到解 令，即 。解得。故 技巧：广义特征向量的求法： 第一步：由等式，可得含相应广义特征向量的等式； 第二步：对由等式构成的增广矩阵进行行变换，求得通解，得到广义特征向量。 关于重特征根的特征向量的几种情形： 情形一：3阶矩阵具有二重特征根，且有两个线性无关的特征向量与之对应。 由进行行变换，即可得到两个线性无关的特征向量，。 情形二：3阶矩阵具有二重特征根，但只有一个个线性无关的特征向量与之对应。 由进行行变换，得到一个线性无关的特征向量，再由求得广义特征向量。 情形三：3阶矩阵具有三重特征根，且有两个线性无关的特征向量与之对应。 由进行行变换，可得到两个线性无关的特征向量，。但此时 不成立，故要重新选择：这里设， 再根据对增广矩阵进行行变换得到的关系，从而得到，以及特征向量。 计算矩阵的幂。 理论依据： （1）直接计算比较困难，如果可对角化，即存在。求的方幂就变得容易。 由求得。 解题步骤： （1）求的相似变换矩阵和对角矩阵 （2）求的逆阵 （3）求 计算矩阵多项式。（如计算，见书) 理论依据： （1）Hamilton-Cayley定理：设，，则 （2）长除法 （这里两者配合使用） 解题步骤： （1）求 （2）令 （3）计算，求得 （4）由Hamilton-Cayley定理知，于是 第三章 矩阵分析 1.矩阵函数值（)的计算方法论：（这里以小于等于3阶的矩阵为例） （1）如果3阶矩阵的特征值多项式为两个重根和另一特征根（或为三重根），则采用待定系数法。 （2）如果3阶矩阵的特征值多项式为三个不同的特征值，则采用相似对角化法。 （3）如果矩阵为2阶矩阵，则可采用待定系数法或Hamilton-Cayley定理。 相似对角化法： （1）求矩阵的相似变换矩阵，和对角矩阵 （由矩阵的特征值组成） （2）由解得 解得 待定系数法：核心是由多项式. 情形一：矩阵为3阶2重根（以为例，其中矩阵为变量） 解题步骤： （1）计算特征多项式： . （2）设多项式，根据，列方程组解系数： 设次数为次的多项式，有 解得： （3）