.不定方程方程组(含答案)-.docVIP

27.不定方程、方程组 知识纵横 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),其特点是解往往有无穷多个,不能惟一确定. 对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,加上条件限制后,解就可确定. 二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决,与之相关的性质有: 设a、b、c、d为整数,则不定方程ax+by=c有如下两个重要命题: (1)若(a,b)=d,且d c,则不定方程ax+by=c没有整数解; (2)若x0,y0是方程ax+by=c且(a,b)=1的一组整数解(称特解),则 (t为整数) 是方程的全部整数解(称通解). 解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。 例题求解 【例１】正整数m、n满足8m+9n=mn+6,则m的最大值为________. (2000年新加坡数学竞赛题) 思路点拨 把m用含n的代数式表示,并分离其整数部分(简称分离整系数法),再结合整除知识,求出m的最大值. 解:75 提示:m==9+,n=9时,m最大值为75. 【例2】如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且从千米处开始,每隔9千米设一个测速照相机标志,则刚好在19千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( ). A.32千米 B.37千米 C.55千米 D.90千米 (2003年河南省竞赛题) 思路点拨 设置限速标志、照相机标志千米数分别表示为3+4x、10+9y(x,y为自然数),问题转化为求不定方程3+4x=10+9y的正整数解. 解:选C 提示:x==2y+1+,4│y+3, 为所求的解. 【例3】(1)求方程15x+52y=6的所有整数解. (2)求方程x+y=x2-xy+y2的整数解. (莫斯科数学奥林匹克试题) (3)求方程正整数解. (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 对于(1)通过观察或辗转相除法,先求出特解.对于(2)易想到完全平方公式,从配方入手;对于(2)易知x,y,z都大于1,不妨设1x≤y≤z,则≥≥,将复杂的三元不定方程转化为一元不等式,通过解不等式对某个未知数的取值作出估计,逐步缩小其取值范围,求出其结果. 解:(1)观察易得一个特解x=42,y=-12,原方程所有整数解为 (t为整数). 解法2:x=-4y+,令=t1,得y=2t1-,令=t,得t=8t-6, 化简得 (2)原方程化为(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=2,由此得方程的解为 (0,0),(2,2),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2) (3)提示: ++≤,即≤, 由此得x=2或3,当x=2时, +=-=≤+=， 即≤, 由此得y=4或5或6,同理当x=3时,y=3或4, 由此可得当1≤x≤y≤z时, (x,y,z)共有 (2,4),(4,2,12),(4,12,2),(12,2,4),(12,4,2),(2,6,6),(6,2,6),(6,6,2), (3,3,6),(3,6,3),(6,3,3),(3,4,4),(4,4,3),(4,3,4) 【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子? (2002年重庆市竞赛题) 思路点拨 无论怎样取,盒子里的棋子数不变,恰当设未知数,把问题转化为求不定方程的正整数解. 解:提示:设盒子里共有x粒棋子,则x被2、3、4、6的最小公倍数12除时,余数为1,即x=12a+1(a为自然数), 又x=11b(b为自然数),得12a+1=11b,b= =a+,11│a+1 因0x≤200,故012a+1≤200,得0a16,a=10, 所以x=12×10+1=121,即盒子里共有121粒棋子. 【例5】中国百鸡问题:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买