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§3 初等函数连续?性 (一) 教学目的：了解指数函数?的定义，掌握初等函数?的连续性． (二) 教学内容：指数函数的定?义；初等函数的连?续性． 基本要求：(1) 掌握初等函数?的连续性． (2) 掌握指数函数?的严格定义． (三)教学建议： (1) 本节的重点是?初等函数的连?续性．要求学生会用?初等函数的连?续性计算极限?． (2) 本节的难点是?理解和掌握指?数函数的性质?． ———————————————————————————— 从前面两节知?道基本初等函?数中：常函数，三角函数，反三角函数，以及有理指数?幂函数，都是定义域上?的连续函数.本节将讨论指?数函数、对数函数与实?指数幂函数在?其定义域内的?连续性，以及初等函数?在其定义域内?的连续性。 一 指数函数的连?续性 在第一章中，我们已定义了?实指数的乘幂?，并证明了指数?函数在上是严?格单调的.下面先把关于?有理指数幂的?一个重要性质?推广到指数幂?,然后证明指数?函数的连续性?。 先回忆一下指?数的定义和相?应的结论： 在中学讲过，为有理数情况?的定义： 和指数的运算?性质： ， （1） 第一章给出了?为无理数时的?定义，这样，对任意实数， 都有了定义： 自然要问：对于指数为一?般实数的情况?，运算性质（1）是否还成立呢?？下面的定理就?回答了这个问?题。 定理4.10 设 为任意实数，则有 证明定理之前?先回顾一下，第一章讲过的?几个结论： 1）时是严格递增?的； 是严格递减的?。 2）确界的定义：： i) （是上界）; ii) ，使得 （是最小上界） 定理的证明 不妨设 ，先证 由指数的定义? 由上确界的定?义，，使得 ，使得 ，（有理数，） 因为 ，由刚才回顾的?结论：时是严格递增?的 由的任意性 再相反的不等?式： 由 ，使得 记，由有理数的稠?密性，存在有理数，使得 ， 由的任意性 定理4.11 指数函数在R?上是连续的. 证明 先设.有第三章§2例4知 ， 这表明在连续?.现任取.由定理4.10得 . 令则当时有,从而有 . 这证明了在任?一点处连续. 当时,令,则有,而 可看作函数与?的复合，所以此时亦在?上连续。 □ 利用指数函数?的连续性，以及第三章§5例4中已证?明的 ， 可知的值域为?（）(时也是如此).于是的反函数?—对数函数在其?定义域()内也连续. 例1 设.证明 . 证明 补充定义 ,则连续,从而知 在连续,所以在连续.由此得. 二 初等函数的连?续性 由于幂函数（为实数）可表为，它是函数与的?复合，故有指数函数?与对数函数的?连续性以及复?合函数的连续?性，推得幂函数在?其定义域（）上连续。 前面已经指出?，常函数，三角函数，反三角函数都?是定义域上的?连续函数.因此我们有下?述定 定理 4.12 一切基本初等?函数都是定义?域上的连续性?函数. 由于任何初等?函数都是由基?本初等函数经?过有限次四则?运算与复合运?算所得到,所以有 定理4.13 任何初等函数?都是定义域上?的连续性函数?. 例 1 求 解 利用对数函数?的连续性， 例 2 求 解 由于是初等函?数 定义域内的点?，利用初等函数?连续性， 例3 作倒代换 例4 解 I = 例5 解 I =