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用解线性方程组方法求三对角矩阵的逆及其应用 第21卷第3期 2005年9月 北京建筑工程学院 JournalofBeijingInstituteofCivilEngineeringandArchitecture Vo1.21 Sep. NO.3 2005 文章编号:1004—6011(2005)03—0059—04 用解线性方程组方法求三对角矩阵的逆及其应用 刘长河,汪元伦,刘世祥 (1.北京建筑工程学院基础部,北京100044;2.绵阳师范学院数学与信息科学系,四川绵阳621000) 摘要:根据三对角矩阵的特点,给出一种利用解线性方程组的方法求三对角矩阵的逆矩阵的算 法.该算法有两个优点.第一,运算量小.在整个计算过程中,只需进行o(詈n2)次乘除运算第 二,节省内存.除原始数据外,只定义3个一维数组,而不需任何二维数组.数值实验表明.它具有 较高的精度.此算法特别适用于求解一大批具有相同的系数矩阵,而具有各自不同的非齐次项的线 性代数方程组. 关键词:三对角矩阵;线性方程组;逆矩阵 中图分类号:O241.6文献标识码:A FindtheInverseMatrixofTridiagonalMatrixbySolving SystemsofLinearAlgebraicEquations LiuChanghe,WangYuanlun.LiuShixiang (1.Dept.ofBasicSciences,Beijing,100044; 2.Dept.ofInformationandMathematics,MianyangNormalCollege,Mianyan,621000) Abstract:Inthispaper,analgorithmforfindingtheinversematrixoftridiagonalmatrixbysolving systemsoflinearalgebraicequationsisproposed.Thisalgorithmisgotaccordingtothepeculiarityof tridiagonalmatrix.Ouralgorithmhastwoadvantages.First,theamountofarithmeticoperationis /●, smal1.ThenumberofmultiplicationanddivisionoperationsisonlyaboutOl号J.Second,memory unitsofcomputeraresaved.Onlythreeone—dimensionarraysaredefinedduringthecourseofcalcula— tion,whilenotwo—dimensionarraysareneeded.Byvaluationexperiment,ouralgorithmisshowedhas highprecision.Thisalgorithmisparticularlysuitableforsolvingalotofsystemsoflinearalgebraequa— tions,whichhavethesamecoefficientmatrixanddifferentnon—homogeneousitems. Keywords:tridiagonalmatrix;systemoflinearalgebraicequations;inversematrix 给定非奇异矩阵D1,要求其逆矩阵Df,理论 上可以通过求解以下个线性方程组: D1z=e,(i=1,…,)(1) 其中,z=(z1,z2,…,z)r,e=(0,0,…0)T,e为单位向量,其第i个分量为1,其,1,0,…, 它分量均 为0.记方程组(1) 2列的矩阵即是D1 的解向量为z(,则以z(为第 的逆矩阵: (z(¨,z(,…,z())(2) 但是,无论利用线性方程组的直接解法[还是 迭代法[,,这种方法计算量都太大.比如,若用 收稿日期:2005—06—03 作者简介:刘长河(1966一),男,副教授,理学博士,研究方向:计算数学 第3期刘长河等:用解线性方程组方法求三对角矩阵的逆及其应用61 盾.于是,用上面方法求出的个向量z((i=1,2, … ,)分别是下列个方程组 Dxz=(i=1,2,…,)(16) 之解.即 D1z()=8i8(i=1,2,…,)(17) 从而 D(㈩)_(1,2,…,)(18) 1为(1)中第个方程组之解. 于是, D11=(击),1),…,ix㈩)(19) 综上所述,可给出求三对角矩阵A的逆矩阵的 算法. 算法: 1.输入数组a=(a1,a2,…,a),c=(c1,c2, … ,C一1), d=(1,2,…,d一