隐函数求导公式的证明（精选篇）.doc

隐函数求导公式的证明（精选6篇） 以下是网友分享的关于隐函数求导公式的证明的资料6篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。 篇一：反三角函数求导公式的证明一 一、反函数的导数 设x 在间I x 假定x =?(y ) 在I y 内单调、可导，而且?’(y ) ≠0，则反函数y =f (x ) =?(y ) 是直接函数，y =f (x ) 是它的反函数，={x |x =?(y ), y I y }内也是单调、可导的，而且f ‘(x ) =1 ?’(y ) 证明： x ∈I x x ，给 于是x 以增量 x ( x ≠0, x + x I x ) 由y =因直接函数x f (x ) 在 I x 上的单调性可知 y =f (x + x ) -f (x ) ≠0x y 1= x y =?(y ) 在I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数y =f (x ) 在I x 上也是连续的， 当 x →0时，必有 y →01?y 11即：f ‘(x ) = =lim = x →0?x x →0 y ?’(y ) ?’(y ) x lim 【例1】 试证明下列基本导数公式 (1)(arcsinx )’ =(2)(arctanx )’ =11+x 2(3)(loga x )’ =1 x ln a 证1、设x =sin y 为直接函数，y =arcsin x 是它的反函数函数x =sin y 在 I y =(- 有 (arcsinx )’ ==(-1,1) 上，ππ, ) 上单调、可导，且 x ‘ =cos y ≠0 22因此，在 I x 1cos y 注意到，当y (-ππ, ) 时，cos y 0，cos y ==22 因此， (arcsinx )’ = 证2 设x 1, ) 则y =arctan x , I x =(-∞, +∞) x =tan y 在 I y 上单调、可导且 x ‘ =0故222cos y 111(arctanx )’ ==cos 2y == (tany )’ 1+tan 2y 1+x 2=tan y ，I y =(-ππ 证3 (loga x )’ =11= (a y )’ a y ln a 类似地，我们可以证明下列导数公式： (arccosx )’ =(arctanx )’ =-11+x 2(lnx )’ =1 x 二、复合函数的求导法则 如果u =?(x ) 在点x 0可导，而y =f (u ) 在点u 0=?(x 0) 可导，则复合函数y =f [?(x )]在点x 0可导，且导数为dy =f ‘(u 0) ??’(x 0) dx x =x 0 证明：因 u →∞lim =f ‘(u 0) ，由极限与无穷小的关系，有 y =f ‘(u 0) u +α u (当 u →0时，α→0) 用 x 由u ≠0去除上式两边得：dy u u =f ‘(u 0) ?+αdx x x , =?(x ) 在x 0的可导性有： x →0 u →0lim α=lim α=0 x →∞ u →∞ ?y ?u ?u ?u ?u =lim [f ‘(u 0) ?+α]=f ‘(u 0) ?lim +lim α?lim x →∞?x x →∞ x →0?x x →0 x →0?x ?x ?x lim dy =f ‘(u 0) ??’(x 0) dx x =x 0 上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：若u =?(x ) 在开区间I x 可导，y =f (u ) 在开区间I u 可导，且x ∈I x 时，对应的 dy dy du =? (2) u I u ，则复合函数u =f [?(x )]在I x 内可导，且dx du dx y =f {φ[?(x )]}，求 引入中间变量， 设 v 变量关系是 【例2】dy dx =φ(x ), u =?(v ) ，于是 y =f (u ) y -u -v -x ，由锁链规则有： dy dy du dv =?? dx du dv dx 【例3】求y =sin 2x 的导数dy 。 dx 解：设 u =2x ，则y =sin u ，u =2x ： dy dy du =?=(sinu )’ ?(2x )’ =2cos 2x dx du dx 【例4】 设 y =ln tg x dy ，求。 2dx y ‘ =11 ?=2sin x tg cos 2 22? u 11【例5】证明幂函数的导数公式 (x )’ =ux u -1，(u 为实数) 。 1=ux u -1 x 证明：设y =x u =e u ln x y ‘ =e u ln x (u ln x )’ =e u ln x ?u ? 篇二：反三角函数求导公式的证明 反三角函数求导公式的证明 §2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则 一、