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§6.5积分学的应用 定积分在几何和物理上都有应用，在几何上主要用于求平面形的面积，平面曲线弧长，和空间几何体的体积；在物上用于求变力沿直线作功，水的侧压力和细棒对质点的引力，用的方法是公式法和微元法。公式中的公式是由微元法推导出来的，用起来很方便，但有时会到有些题不能代公式，这时就只能用微元法来求解，因此，两种方法都要掌握。 一、平面图形的面积 求平面图形的面积，一般应先根据条件画出平面区域的大致图形，特别是找出曲线与坐标轴或曲线之间的交点，再根据图形的特征选择相应的积分变量及积分区域，然后写出面积的积分表达式进行计算.有时可借助将被积表达式表示成绝对值的形式写出定积分式子，这样不易出错.计算定积分时再分段去掉绝对值. 已知函数 在区间 上连续，如何求由曲线 ， ， 所围成的曲边梯形的面积 . 　　1 如果在 上 ，见图6-10， 　　　　　 则由定积分 的几何意义知： 　　　　 （ .） 　　2如果在 上 ，见图6-11， 　　　　　 则由于积分和 中每个 ，因而 ，所以定积分 ，这时该定积分代表曲边梯形面积 的负值，则有面积?. 　　3对于在 上函数 有时取正有时取负，见图6-12， 面积 可以表示为 　　　 ??? 　　 　　 ? 　 若把 轴上方的面积看作正的， 轴下方的面积看作负的，即看作有向面积，则定积分 是这些有向面积的代数和. 综合上述，知由曲线 、 轴及直线 ， 所围成的图形的面积 ，不论 的正负如何，均有 。 2、进一步，设函数 、 在区间 上连续，则由连续曲线 、 及直线 ， 所围成的图形的面积 如何求？ 　　1若 （见图6-14阴影部分） 　　　　 　 　　2若 （见图6-15阴影部分） 　　　 ? 　 　 　 　 这时也可将曲线 、同时沿 轴方向向上平移一个常数 ，使它们都位于 轴上方，由于 ，故仍然有 　 　　3若 、 的大小不定（见下图阴影部分），则 ???????????? 　　 　 　 　 　 　　综合上述，知由曲线 、 及直线 ， 所围成的图形的面积 ，不论 、 的大小关系如何，均有 ，然后再脱去绝对值计算定积分值. 　　类似地，由连续曲线 、 轴与直线 、 （ ）所围成的曲边梯形面积 （见图6-13，这时 ）为 . 　　 ?由连续曲线 、 与直线 、 （ ）所围成的图形面积 ，无论 、 的大小关系如何（见下图），均有 ，然后再脱去绝对值计算定积分值. ????????? 　　　 　　（1）中所有的图形若用直线 去截，直线 与图形的边界至多只有二个交点，这种图形称为 型区域； 型区域常选 作为积分变量. 　　（2）中所有的图形若用直线 去截，直线 与图形的边界至多只有二个交点，这种图形称为 型区域； 型区域常选 作为积分变量. 　　有些图形既是 型区域又是 型区域，这时应适当选择积分变量可使计算简单许多. 　　例1???????????? 求椭圆 的面积. 　　解： 先画出椭圆的图形，见图6-16， 　　　因为椭圆是关于坐标轴对称的，所以整个椭圆的面积 是第一象限内那部分面积的4倍，即有 ??? 其中 所以????? ????? 　　　 === === 　例2?　　例 求抛物线 与直线 所围成的图形的面积. 解：1 解方程 , 得交点： 。 2 选取为积分变量， 3. 给出面积元素 在上， 上， 4. 另解：为积分变量， 显然，，。 ??? 　　例 求曲线 、 与直线 、 所围成的图形的面积.如图6-18阴影部分面积的总和. 　　　　　 　　解：由于图形对称于 轴，所以所求面积 是第一象限内两小块图形面积的两倍.两曲线交点 的横坐标为 ，于是 ? ? ? ? （平方单位） 由边际函数求函数 函数 边际函数 总成本函数 C(q)、收函数? R (q)（通称总函数），由微分法可得到边际函数边际函数 ， 由于积分法是微分法的逆运算，所以，利用积分法可使我们由边际函数推导出总函数。 （二）用定积分求总成本、总收入、总利润或其增量的方法 1．已知边际成本总成本函数 已知产量为 时的边际成本为 ，固定成本为 C0，则产量为 时的总成本函数为 总成本函数 或者 由于不定积分中含有一个任意常数,为了得到所要求的总函数,还需要知道一个确定积分常数c的条件. 总成本的产量从 1 增加到 2 时总成本的增量为 2．边际函数收函数 已知销售量为 时的边际收入为 ，则销售量为 时的收函数为 总收函数 或者 确定不定积分常数c的条件是: 总的量从 1 增加到 2 时总的增量为 3