届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第讲函数模型及其应用精选教案理.docVIP

第12讲　函数模型及其应用 考纲要求 考情分析 命题趋势 1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线增长、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 2016·浙江卷，18 2016·四川卷，13 2016·北京卷，1 　　函数的实际应用，考查几个常见的函数模型：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型，用来求解实际问题中的最值问题、优化问题． 分值：5～14分 1．三种函数模型性质比较 y＝ax(a1) y＝logax(a1) y＝xn(n0) 在(0，＋∞)上的单调性 单调递增函数 单调递增函数 单调递增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x值增大，图象与y轴接近平行 随x值增大，图象与x轴接近平行 随n值变化而不同 2．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0) 幂函数型函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 3．解决函数应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际意义． 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．(　×　) (2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a0)的增长速度．(　√　) (3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　×　) (4)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(　√　) 解析　(1)错误．当x(0,2)和(4，＋∞)时，2xx2，当x(2,4)时，x22x. (2)正确．由两者的图象易知． (3)错误．增长越来越快的指数型函数是y＝a·bx＋c(a0，b1)．(4)正确．根据指数函数y＝ax(a1)的函数值增长特点易知． 2．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　B　) A．f(x)g(x)h(x)　　　 B．g(x)f(x)h(x) C．g(x)h(x)f(x)　　　 D．f(x)h(x)g(x) 解析　由图象知，当x(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)． 3．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表. x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则x，y最适合的函数的是(　D　) A．y＝2x　　　 B．y＝x2－1 C．y＝2x－2　　　 D．y＝log2x 解析　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A项；将x＝2.01，y＝0.98代入计算，可以排除B项，C项；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D． 4．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为下图中的(　B　) 解析　由题意知h＝20－5t(0≤t≤4)，故选B． 5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为(　B　) A．36万件　　　 B．18万件　　　 C．22万件　　　 D．9万件 解析　利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值． 一　二次函数模型 在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解，解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题． 【例1】 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理