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《统计手册：金融中的统计方法》 第16章 主成分分析和因子分析 《统计手册：金融中的统计方法》 ′ A=(C:L:C) （2.3） ??1r222时达到，其中C,L,C是∑∑关于∑的前r个特征值λ≥λ≥L≥λ所对应的r个1特征向量，也就是说，特征向量和特征值是从下面的行列式方程中产生的 2 ∑∑－λ∑=0 （2.4） 211222用z=Ay预测x的相对信息损失是 ??????1′′tr(∑??(A∑A)A∑∑A)/tr∑11??22????2112??1122 （2.5） λ+L+λ1r=1??tr∑11我们可以选择一些特殊的x和y，并导出具有（2.3）形式的最优变换A。 2.2. x=y的情形 #039;#039;考虑特定情形x=y，得到一般主成分Cx,L,Cx，其中C,L,C是行列式方程1r1r22∑??λI=0的前r个特征值λ≥L≥λ所对应的前r个特征向量。在这种情况下，信息111r损失（2.5）等于 2222λ+L+λλ+L+λr+1p1r 1??= （2.6） 2222λ+L+λλ+L+λ1p1p通常用百分数表示，r的选择取决于（2.6）的大小。 2实际上，需要从p维随机向量x的n个独立观测值样本中估计λ和C，这个样本用iip×n矩阵表示 X=(x:L:x) （2.7） 1n∑的估计量是 111??1????′′ S=(n??1)XI??eeX ????n????其中e是n维1向量。λ的估计l和C的估计量c可以从谱分解中得出 iiii22′′ S=lcc+L+lcc （2.8） 111ppp于是第i个个体观测值的主成分就是 ′′′ q=(cx,L,cx) （2.9） i1ipi其结果是，我们表示 s=S的第i个对角线元素， ii 2 《统计手册：金融中的统计方法》 ′ c=(c,L,c),j=1,L,p, （2.10.1） jj1jp?? c=lc,i=1,L,p, （2.10.2） jijji′ q=(q,L,q),i=1,L,n, （2.11.1） ii1ip??1?? q=lq,i=1,L,n. （2.11.2） ijjij应该注意，向量c和q（除坐标平移之外）可以从奇异值分解（singular value iidecomposition, SVD） 1????′′′ XI??ee=lcd+L+lcd （2.12） ????111pppn????′一步得出。其中具有关系式(ld:L:ld)=(q:L:q)。 11pp1n2.3.主成分解释 为了用原始测量指标的影响解释主成分，需要表1中列出的计算。 表1 与主成分的相关系数 x对z,L,z i1r原始变量 z K z 1p的复相关系数 r??122x ??s∑c=R1??L??c/sc/s11j111111p111j=1MMM M M r??L??c/sc/s??122x 1pppppppp??s∑c=Rppjppj=1 表1中相关系数的大小表明每一个变量由每一个主成分代表的效果，以及全部变量用前22r个主成分代表的效果（通过R的值判断）。对r=1,2,L计算R的值使得我们能够对r作ii2出决定，即决定选取主成分的个数。如果对某个r,除一个i值以外R的值都很高，比如说i是j，那么可以决定将x加入z,...,z中，或者增加其他能很好代表x的主成分。 j1rj2.4.数据的图形显示 依照原始测量指标表示所有个体，需要一个p维空间。但是为了直观地考察，我们需要这些个体在二维或者三维空间里的标示图，它应该尽可能反映个体在p维空间里的构形(configuration)（个体之间的距离）。为此，使用（2.