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医学统计学课件--主成分分析与因子分析(第20章) Principal Components Analysis amp; Factor Analysis 第二军医大学卫生统计学教研室 张罗漫 第20章 医学统计学 讲课内容： 第一节 主成分分析 第二节 因子分析 医学统计学 第一节 主成分分析 Principal Components Analysis 医学统计学 一、基本思想 数据的降维、数据的解释 将原来众多具有一定相关性的指标，组 合成一组新的相互无关的综合指标。 从中选取几个较少的综合指标尽可能多 的反映原来众多指标的信息。 这种既减少了指标的数目又抓住了主要矛 盾的做法有利于问题的分析和处理。 医学统计学 医学统计学 如何利用这些指标对每一儿童的生长发育 作出正确评价？ 仅用单一指标： 结论片面； 没有充分利用原有数据信息。 利用所有指标： 各指标评价的结论可能不一致，使综合 评价困难； 工作量大。 医学统计学 找出几个综合指标(长度、围度、特体)，这些综合指标是原始指标的线性组合，既保留了原始指标的信息，且互不相关。 各综合指标提供的“信息”量大小用其方差来衡量。 衡量一个指标的好坏除了正确性与精确性外，还必须能充分反映个体间的变异，一 项指标在个体间的变异越大，提供的信息 量越多。 医学统计学 二、数学模型及几何意义 医学统计学 Z = A X 医学统计学 第一主成分 在所有Zi中最大 医学统计学 第二主成分 …… 理论上主成分个数最多为m个(指标个数) 实际工作中确定的主成分个数总是小于m个 在所有Zi中为第2大。 无关，互相垂直： 医学统计学 X1 X2 1 1 2 -2 -2 -1 -1 2 0 相关 变异 医学统计学 X1 X2 Z1 Z2 1 1 2 -2 -2 -2 -2 1 1 -1 -1 -1 -1 2 2 2 0 医学统计学 Z1 Z2 -2 -2 1 1 -1 -1 2 2 0 相关 变异 医学统计学 三、主成分的求法及性质 医学统计学 （一）主成分的求法 1. 对各原始指标值进行标准化 为了方便，仍用Xij表示Xij’。 医学统计学 标准化后的数据矩阵 X = 医学统计学 2. 求出X1 , X2 , … , Xm 的相关矩阵R R=Cov(X) = 医学统计学 Pearson 相关系数 标准化后的协方差 协方差 医学统计学 3. 求出矩阵R的全部特征值(eigenvalue) ??i, 第i个主成分的组合系数ai1, ai2, ??, aim满 足方程组: (r11－ ??i) ai1+ r12 ai2+ ??+ r1m aim =0 r21 ai1+ (r22－ ??i) ai2+ ??+ r2m aim=0 ?? rm1 ai1+ rm2 ai2+ ??+ (rmm－ ??i) aim =0 医学统计学 (r11－ ??i) ai1+ r12 ai2+ ??+ r1m aim =0 r21 ai1+ (r22－ ??i) ai2+ ??+ r2m aim=0 ?? rm1 ai1+ rm2 ai2+ ??+ (rmm－ ??i) aim =0 ??i为矩阵R的第i个特征值， 共有m个非负特征值，由大到小的顺序排列为： ??1≥ ??2≥ ??≥ ??m≥0 ??i=Var(Zi) 医学统计学 4. 由以上方程组，求出相应于特征值 ??i 的 特征向量(eigenvector) (ai1 , ai2 , ?? , aim)’ 医学统计学 （二）主成分的性质 1.各主成分互不相关 医学统计学 2.主成分的贡献率与累积贡献率 (原始指标值标准化) (指标个数) 贡献率 累积贡献率 医学统计学 3.主成分个数的选取 （1）前k个主成分的累积贡献率gt;70%。 （2）主成分Zi的特征值??i ≥ 1。 4.因子载荷 （第i主成分Zi与第j原始指标Xi间相关系数） 医学统计学 5.样品的主成分得分 医学统计学 四、实例 医学统计学 医学统计学 医学统计学 医学统计学 1.主成分个数的选取 ??3很接近于1； ??3 与??2的贡献率相差不大，为25%左右， 若舍去??3不合理。 取前三个主成分。 医学统计学 2.列出主成分表达式 Z1为急