2018届高考数学复习——数列：数列求和（解析版）.docVIP

1.公式法 (1)等差、等比数列的前n项和公式 等差数列：Sn＝＝na1＋d； 等比数列：Sn＝ (2)一些常见数列的前n项和公式 ①1＋2＋3＋4＋…＋n＝； ②1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2； ③2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n. 2.分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成则求和时可用分组转化法分别求和而后相加减. 3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差在求和时中间的一些项可以相互抵消从而求得其和. 归纳起来常见的命题角度有： (1)形如an＝型； (2)形如an＝ 型； (3)形如an＝型. 4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的那么这个数列的前n项和即可用此法来求等比数列的前n项和就是用此法推导的. 题型1:公式法求和 【典型例题】 [例1](1)数列{an}的通项公式为an＝2n＋1其前n项的和为Sn则数列{}的前10项的和为(　　) A.120 B.70 C.75 D.100 解析：选C　∵Sn＝＝n(n＋2) ∴＝n＋2.故＋＋…＋＝75. (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)且S25＝100则a12＋a14等于(　　) A.16　　 B.8 C.4 D.不确定 解析：选B由数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)可知数列{an}是等差数列由S25＝＝100解得a1＋a25＝8所以a1＋a25＝a12＋a14＝8. (3)(2012·江南十校联考)若数列{an}为等比数列且a1＝1q＝2则Tn＝＋＋…＋的结果可化为(　　) A.1－ B.1－ C.(1－) D.(1－) 解析：选C　an＝2n－1设bn＝＝2n－1 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋3＋…＋2n－1 ＝＝. [例2](2016全国I文)已知{an}是公差为3的等差数列数列{bn}满足b1＝1b2＝anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (I)求{an}的通项公式； (II)求{bn}的前n项和. 解：(I)由已知得得所以数列是首项为2公差为3的等差数列通项公式为. (II)由(I)和 得因此是首项为1公比为的等比数列.记的前项和为则 【】 1.(2012·沈阳六校联考)设数列{(－1)n}的前n项和为Sn则对任意正整数nSn＝(　　) A.　　　 B. C. D. 解析：选D　因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列所以Sn＝＝. 2.已知{an}是首项为1的等比数列Sn是{an}的前n项和且9S3＝S6则数列{}的前5项和为(　　) A.或5　 B.或5 C. D. 解析：选C　设数列{an}的公比为q.由题意可知q≠1且＝解得q＝2所以数列是以1为首项为公比的等比数列由求和公式可得S5＝. 3.对于数列{an}定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”若a1＝2{an}的“差数列”的通项公式为2n则数列{an}的前n项和Sn＝________. 解析：∵an＋1－an＝2n ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n. ∴Sn＝＝2n＋1－2. 答案：2n＋1－2 4.(2013·重庆高考)设数列{an}满足：a1＝1an＋1＝3ann∈N*. (1)求{an}的通项公式及前n项和Sn； (2)已知{bn}是等差数列Tn为其前n项和且b1＝a2b3＝a1＋a2＋a3求T20. 解：(1)由题设知{an}是首项为1公比为3的等比数列 所以an＝3n－1Sn＝＝(3n－1). (2)由(1)知b1＝a2＝3b3＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13b3－b1＝10＝2d所以数列{bn}的公差d＝5 故T20＝20×3＋×5＝1 010. 题型2:分组求和法 【典型例题】 [例1]?(1)若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1则数列{an}的前n项和为________. 解析：Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2. 答案：2n＋1＋n2－2 ?(2)数列a1＋2…,ak＋2k…,a10＋20共有十项且其和为240则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为(　　) A.31 B.120 C.130 D.185 解析：选C　a1＋…＋ak＋…＋a10＝240－(2＋…＋2k＋…＋20)＝240－＝240－110＝130. ?(3)(2016全国II理)Sn为等差数列{an}的前n项和且a1＝1S7＝28记bn＝[lg an]其中[x]表示不超过x的最大整数如[