矩阵在解题中的妙用.docVIP

摘 要 矩阵是高等数学中的重要内容之一，也是数学研究和应用的一个重要工具.本文首先介绍矩阵的概念及其运算性质，如矩阵的逆、矩阵的加法、乘法等，然后结合大量的相关例题，来说明矩阵在概率、解析几何、解线性方程组及实际生产生活等问题中是如何妙用的. 关键词：行列式；矩阵；转移矩阵；线性方程组 Abstract The matrix is an important content in higher mathematics,it is also an important tool for research and application of mathematics.This paper first introduces the concept of the matrix and its operational properties,such as the matrix inverse，the matrix addition and the multiplication,and so on,and then combins with large numbers of relevant examples to illustrate the matrix in the probability，the analytic geometry，the solving linear equations and the actual production life etc problems is how to applied. Key words：determinant；matrix；transfer matrix；linear equations 目 录 摘要 I Abstract II 前言 1 第1章 矩阵的概念与性质 2 第1节 矩阵的概念 2 第2节 矩阵运算及性质 4 第2章 矩阵的应用 7 第1节 矩阵在概率中的妙用 7 第2节 矩阵在几何中的妙用 8 第3节 矩阵在解线性方程组中的妙用 11 第4节 矩阵在实际生产生活中的妙用 15 结论 20 参考文献 21 致谢 22 前 言 矩阵是线性代数中的一个基本内容，也是主要研究对象之一.根据世界数学发展史记载，矩阵概念产生于19世纪50年代，是为了解线性方程组的需要而产生的，然而在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽，在我国的《九章算术》一书中已经有所描述，只是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它解决实际问题，所以没能形成独立的矩阵理论，如今，矩阵理论已成为数学发展中的一个重要分支，既是学习数学的基础，又是一门有实用价值的理论我们在日常生活中无意识的应用着矩阵，旅程时间表学校的课程表以及其它与行列有关的图表而且在科技发展的今天，矩阵在其它学科中有着重要的作用如物理学，社会学，计算机编程，控制论，电子信息科学与技术，运筹学等个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标，，都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置.比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列.特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量. 定义2 当一个矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为一个阶方阵.对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为副对角线. 定义3 若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即. 定义4 若矩阵满足零行（元素全为的行）在最下方；2）非零首元（即非零行的第一个不为零的元素）的列标号随行标号的增加而严格递增则称此矩阵为阶梯形矩阵. 定义5 若矩阵满足： （1）行阶梯形矩阵； （2）各非零行的首非零元均为； （3）首非零元所在列的其它元素均为， 称为行最简形矩阵，如. 定义6 (矩阵的逆) 设是数域上的一个级方阵，如果存在上的级方阵，使得，则称是可逆的，又称为的逆矩阵，当矩阵可逆时，逆矩阵由唯一确定，记为. 定义7 矩阵的初等变换 （1）倍法变换是以一个非零常数乘矩阵中某一行（或列）； （2）消法变换是将矩阵中某一行（或列）的数倍加到另一行（或列）； （3）换位变换是对调矩阵中任意两行（或列）的位置， 显然，三种初等变换都是可逆的，且其变换是同一类型的初等变换，把矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换. 定义8 如果经过有限次初等变换变为矩阵，称矩阵与是等价的，记为. 定义9 (转移矩阵) 规定矩阵的每一行都是非负的实数，的每一列的元之和都等于，且，，数学上称这样的过程为随机过程或马可夫链，称为转移矩阵，如. 第2节 矩阵运算及性质 性质1 (矩阵的加法) 如果，