高数定积分 同济版高数教学设计完美版定第六章 定积分的应用.docVIP

高数定积分 同济版高数教学设计完美版定第六章 定积分的应用 导读：就爱阅读网友为您分享以下“同济版高数教学设计完美版定第六章 定积分的应用”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92的支持! 高等数学教案 §6 定积分的应用 教学目的 第六章 定积分的应用 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。 教学重点： 1、 计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面 积为已知的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、 截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x[a, b]). 如果说积分, A=?af(x)dx b 是以[a, b]为底的曲边梯形的面积, 则积分上限函数 A(x)=?af(t)dt x 就是以[a, x]为底的曲边梯形的面积. 而微分dA(x)=f (x)dx 表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a, b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式, 以 [a, b]为积分区间的定积分: A=?af(x)dx . b 一般情况下, 为求某一量U, 先将此量分布在某一区间[a, b]上, 分布在[a, x]上的量用函数U(x)表示, 再求这一量的元素dU(x), 设dU(x)=u(x)dx, 然后以u(x)dx为被积表达式, 以[a, b]为积分区间求定积分即得 U=?af(x)dx. b 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). 重庆三峡学院高等数学课程建设组 高等数学教案 §6 定积分的应用 §6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成, 则面积元素为[f上(x)- f下(x)]dx, 于是平面图形的面积为 S=?a[f上(x)-f下(x)]dx. 类似地, 由左右两条曲线x=?左(y)与x=?右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成设平面图形的面积为 S=?c[?右(y)-?左(y)]dy. 例1 计算抛物线y2=x、y=x2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: f上(x)=x, f下(x)=x2. (4)计算积分 1 S=?0(x-x2)dx=[x2-x3]10=. 例2 计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y轴上的投影区间: [-2, 4]. db (3)确定左右曲线: ?左(y)=y2, ?右(y)=y+4. (4)计算积分 4=18. S=?-2(y+4-y2)dy=[y2+4y-y3]4-22y2 例3 求椭圆2+2=1所围成的图形的面积. ab 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a]. 因为面积元素为ydx, 所以 S=4?0ydx. a 椭圆的参数方程为: x=a cos t , y=b sin t , 于是 S=4?0ydx=4πbsintd(acost) a0 重庆三峡学院高等数学课程建设组 高等数学教案 §6 定积分的应用 =-4abπsi2st)dt=2ab=abπ. ntdt=2ab?0(1-co20 π 2．极坐标情形 曲边扇形及曲边扇形的面积元素: 由曲线ρ=?(θ)及射线θ =α, θ =β围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素为 dS=[?(θ)]2dθ. 曲边扇形的面积为 βS=?α[?(θ)]2dθ. 例4. 计算阿基米德螺线ρ=aθ (a 0)上相应于θ从0变到2π 的一段弧与极轴所围成的图形的面积. 2π2π=a2π3.