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第五章_重复博弈 未来存在收益流R1，R2，R3，…，那么这个未来收益流的贴现值之和就为 其中 称为贴现因子(Discount factor)。 我们考虑一个随机结束重复博弈，即进行一个重复博弈时，每次都通过抽签来决定是否停止重复，如果抽到停止的概率为P，则抽到重复下去的概率为1-P。设某博弈方在下一阶段的博弈中得到的收益为R1， 利率为r，因为继续博弈的概率为1-P，么在当前阶段硬币未抛之前的价值（即贴现后的期望值）为(1 – p)R1/(1+ r)；如果下两阶段能得到的收益为R2，在当前阶段硬币未抛之前的价值为(1 – p)??R2/(1+ r)??；下三阶段、四阶段等等的收益，照此类推。 令 ，则贴现因子既包含了货币的时间价值（贴现率1/(1+r)），又包含了博弈结束的可能性(1 – p)。 其中Rmax = max{R1, R2, R3, …}，即Rmax为收益流中的最大值。同理， 考虑一个无穷期的情况，如果t 期的收益为Rt，贴现因子为 ，那么收益流的贴现值为 其中Rmin={R1, R2, R3, …}，即Rmin为收益流中的最小值。就这意味着，存在一个R使得 R就被称为收益流(R1, R2, R3, …)的贴现平均收益值。 对于不同的策略，显然对应着不同的贴现平均收益值，通过比较平均收益值就能非常方便地知道什么是最优策略。 定义5.1 设贴现因子为 ，收益流(R1, R2, R3, …)的贴现平均收益值为 由于平均收益值等于贴现值之和V的 倍，使贴现平均收益值最大化就等同于使贴现值之和最大化。使用平均收益的另一个优点，就是我们可以利用它直接和阶段博弈中的收益进行比较,从而更容易知道哪一个策略要优。 对于重复博弈中参与者的偏好，同学们可能认为只要照搬前面的收益函数就可以了，而这实际上是不对的。为什么呢？我们知道在确定性下，表达相同偏好的收益函数并不唯一，而是满足单调变换性，即只要f是一个单调递增函数，那么 与 就表示同一个偏好。但在（无穷）重复博弈中，整个博弈的收益函数为 它实际上为阶段博弈G的收益函数u(s)的一个贴现和，我们把u(s)也称为伯努利收益函数，因为它也像v-N-M偏好一样，要求u(s)必须满足线形变换，即只有当f = 8#004699a + bu(s)，bgt;0时，f 和u才表示相同的重复博弈偏好。因为这时的v实际上是预期收益函数。 二、重复博弈的定义及扩展式 定义5.2对于策略式博弈G = {N , S , u}，其中N={1, 2,…, n}为参与者集合，S ={S1 ,…, Sn}为所有参与者的策略空间（策略实际上就是行动），u ={u1, …, un}为所有参与者的收益函数。如果G在时间中（或程序上）不断重复，并且在下一次博弈G开始前，所有以前博弈的历史都被观察到，那么它构成的动态博弈就称之为重复博弈，G就为重复博弈中的阶段博弈。如果G重复进行T次，那么G(T)就表示重复进行T次的有限重复博弈。如果T = ∞，那么G(T)就表示无限重复博弈。重复博弈G(T)中参与者i的偏好用收益函数vi表示，即 其中 为伯努利收益函数， 为重复博弈t阶段的行动组合(T gt; t gt;1)，为贴现因子，Ri为参与者i的贴现平均收益值，等于 为了更为形象，我们引入一个重复信用困境博弈，其阶段博弈G的博弈矩阵如图5-1所示。 第二节 合作产生的原因 1，1 5，0 欺骗 0，5 4，4 诚信 商人1 欺骗 诚信 商人 2 图5-1 信用困境 实际上，运用逆推法，很容易证明，只要重复博弈进行的次数是有限的，那么（欺骗，欺骗）这样的结果会在每一个阶段博弈中出现。上述的直观认识具有普遍意义。如果阶段博弈G存在唯一纳什均衡，那么G(T)的子博弈完美均衡不过是纳什均衡重复T次，根本的原因是，如果最后一个子博弈G(1)存在唯一的纳什均衡，那么无论前面的历史如何都不会改变最后一个子博弈的均衡结果（反正过去的已经成为过去），因而G(T)的完美均衡不过是G的纳什均衡重复T次，这就有了命题5.1。 命题5.1 如果阶段博弈G有唯一的纳什均衡，则对任意有限的T，重复博弈G(T)有唯一的子博弈完美均衡：即G的纳什均衡结果在每一个阶段重复进行。 利用命题5.1可知，无论信用困境重复多少次，只要不是无穷的，那么唯一的均衡结果只能是每一阶段都为（欺骗，欺骗），因而人类社会所谓的合作根本就不可能产生，人与人之间的诚信只能是一种奢望。然而，现实并非如此，虽然人与