(数学分析教案)第四章函数的连续性.docVIP

函数的连续性 （14学时） 引言 在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。从今天开始，我们就来看看这类函数的特点。主要讲以下几个问题： 什么是“函数的连续性”？ “间断”或“不连续”有哪些情形？ 连续函数有哪些性质？ 初等函数的连续性有何特点？ §１　连续性概念 教学目标：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。 教学要求：（１）使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；（２）应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；（３）明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。 教学重点：函数连续性概念。 教学难点：函数连续性概念。 学时安排: 4学时 教学程序： 引言 “连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲，是不难理解的。例如下图１中的函数，我们说它是连续的，而图２中的函数在处是间断的。 由此可见，所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线。而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了。 当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形只能帮助我们更形象地理解概念，而不能揭示概念的本质属性。 例如，可以举出这样的例子，它在每点都连续但却无法用图形表示出来（如Rieman函数）。 因此，为了给出“连续”的定义，需要对此作进一步分析和研究。 从图２看出，在处，函数值有一个跳跃，当自变量从左侧的近傍变到右侧的近旁时，对应的函数值发生了显著的变化。而在其它点处（如处），情况则完全相反。：当自变量从向左侧或向右侧作微小改变时，对应的函数值也只作微小的改变；这就是说，当自变量靠近时，函数值就靠近，而当时，。换句话说，当时，以为极限，即。 根据这一分析，引入下面的定义： 一　函数在一点的连续性 函数在点连续的定义 定义１（在点连续）设函数在某内有定义，若，则称在点连续。 注　　，即“在点连续”意味着“极限运算与对应法则　可交换。 ２．例子 例１．在处连续。 例２．。 例３．讨论函数在点x=0处连续性。 ３．函数在点连续的等价定义 记号：——自变量在点的增量或改变量。设，——函数在点的增量。 注：自变量的增量或函数的增量可正、可负、也可为零。（区别于“增加”）。 等价定义１：函数在点连续。 等价定义２：函数在点连续，当时，。 注：一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式。如用三种定义，可以证明以下命题： 例４．证明函数在点连续，其中为Dirichlet函数。 ４．函数在点有极限与函数在点连续之间的关系 从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定在内不定义（在点可以没有定义）。而在点连续则要求在某内有定义（包括）。 在极限中，要求，而当“在点连续”时，由于x=时，恒成立。所以换为：. 从对极限的要求看：“在点连续”不仅要求“在点有极限”，而且；而在讨论时，不要求它等于，甚至于可以不存在。 总的来讲，函数在点连续的要求是：①在点有定义；②存在；③. 任何一条不满足，在点就不连续。同时，由定义可知，函数在某点是可连续，是函数在这点的局部性质。 ５．在点左（右）连续定义 定义２：设函数在点（内有定义），若（），则称在点右（左）连续。 在点连续的等价刻划 定理4.1　函数在点连续在点既是右连续，又是左连续。 如上例４：（右连续），（左连续）。 例５．讨论函数在点的连续性。 二　区间上的连续函数 １．定义 若函数在区间Ｉ上每一点都连续，则称为Ｉ上的连续函数。对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续。若函数在区间上仅有有限个第一类间断点，则称在上分段连续。 ２．例子 （１）函数是Ｒ上的连续函数； （２）函数在内每一点都连续。在处为左连续，在处为右连续，因而它在上连续。 命题：初等函数在其定义区间上为连续函数。 函数，在上是分段连续的在Ｒ上是分段连续吗？　在Ｒ上是分段连续吗？ 三　间断点及其分类 １．不连续点（间断点）定义 　　定义３　设函数在某内有定义，若在点无定义，或在点有定义而不２，不则称点为函数的间断点或不连续点。 注　这个定义不好；还不如说：设在内不定义，如果在不连续，则称是的不连续点（或间断点）。由上述分析可见，若为函数的间断点，则必出现下列情形之一：①在点无定义；②不存在；③。据此，对函数的间断点作如下分类： ２．间断点分类 可去间断点　若，而在点无定义，或有定义但，则称为的可去间断点。 例如：是函数的可去间断点。 “可去间断点”名称何来？通过一定的手段，可以“去掉”