届高考数学一轮复习第章数列第讲数列求和学案.docVIP

第4讲　数列求和 板块一　知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点　数列求和的六种方法 1．公式法 2．分组求和法 3．倒序相加法 4．并项求和法 5．裂项相消法 6．错位相减法 [必会结论] 常见的拆项公式 (1)＝－； (2)＝； (3)＝－. [考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　　) (2)当n≥2时，＝.(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　) (4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．[2018·长沙模拟]已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于(　　) A．15 B．12 C．－12 D．－15 答案　A 解析　∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15. 3．[2018·吉林模拟]数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项之和为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　bn＝＝＝－， S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝－＋－＋－＋…＋－＝－ ＝.故选B. 4．[课本改编]数列1，，2，，4，，…的前2n项和S2n＝________. 答案　2n－ 解析　S2n＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋＝2n－1＋1－＝2n－. 5．[2018·南京模拟]已知an＝，设bn＝，记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝________. 答案　 解析　bn＝n·3n， 于是Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，① 3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1，② ①－②，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1， 即－2Sn＝－n·3n＋1， Sn＝·3n＋1－·3n＋1＋＝. 板块二　典例探究·考向突破 考向　分组转化法求和 例　1　[2016·北京高考]已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和． 解　(1)等比数列{bn}的公比q＝＝＝3， 所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27. 设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27， 所以1＋13d＝27，即d＝2， 所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…)． (2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1， 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1， 从而数列{cn}的前n项和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝＋＝n2＋. 触类旁通 分组转化求和通法 若一个数列能分解转化为几个能求和的新数列的和或差，可借助求和公式求得原数列的和．求解时应通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化． 【变式训练1】　[2018·西安模拟]已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n. ∵n＝1时，a1＝1符合上式， 故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 考向　裂项相消法求和 命题角度1　形如an＝ 型 例　2　[2018·正定模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若d，S9为函数f(x)＝(x－2)(x－99)的两个零点且dS9. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)因为d，S9为函数f(x)＝(x－2)(x－99)的两个零点且dS9，所以d＝2，S9＝99， 又因为Sn＝na1＋d，所以9a1＋×2＝99，解得a1＝3，{an}是首项为3，公差为2的等差数列． 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1. (2)∵