分式方程的解法及应用提高导学案 习题含答案.docVIP

分式方程的解法及应用（提高） 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 【典型例题】类型一、判别分式方程 1、下列各式中，哪些是分式方程？哪些不是分式方程？为什么？ （1） （2） （3） （4） 【答案】没有等号，所以不是方程，它是一个代数式； （4）方程具备分式方程的三个特征，是分式方程． 特别提醒：（3）题是一个代数式，不是方程，容易判断错误； 【】类型二、解复杂分式方程的技巧 2、解方程：． 【答案】， ∴ ， ∴ ， ∴ ，或， 由，解得， 由，解得． 经检验：，是原方程的根. 【】，去分母后的整式方程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解． 举一反三： 【变式】解方程． 【答案】 解：移项得， 两边同时通分得， 即， 因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等． 所以， ， ， ， ∴ ． 检验：当时，． ∴ 是原方程的根． 类型三、分式方程的增根 3、（1）若分式方程有增根，求值； （2）若分式方程有增根，求的值． 【思路点拨】（1）若分式方程产生增根，则，即或，然后把代入由分式方程转化得的整式方程求出的值．（2）将分式方程转化成整式方程后，把代入解出的值. 【答案】，得． ∴ ． ∴ ． 由题意知增根为或， ∴ 或． ∴ 或． （2）方程两边同乘，得． ∴ ． ∴ ． ∵ 增根为， ∴ ． ∴ ． 【】的方程无解，求的值． 【答案】 解：方程两边同乘约去分母， 得，即． ①∵ ，即时原方程无解， ∴ ，∴ ． ②∵ 当时，整式方程无解， ∴ 当时，原方程无解． 综上所述，当或时，原方程无解． 类型四、分式方程的应用 4、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同． (1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米? (2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种?请你帮助设计出来． 【思路点拨】(1)题中的等量关系是甲工程队