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第七章 弯曲应力 * 材料力学 一、梁的正应力及强度条件 1.矩形截面梁纯弯曲时，横截面上的正应力。 （由实验观察得如下现象：） a.变形后，所有横向线仍保持为直线，只是相对倾斜了一个角度。 b. 变形后，所有纵向线变成曲线，仍保持平行;上、下部分的纵向线分别缩短和伸长 。 图 7-1 根据上述现象，设想梁内部的变形与外表观察到的现象相一致，可提出如下假设： a. 平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，只是转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。 b. 中性层假设：梁内存在一个纵向层，在变形时，该层的纵向纤维即不伸长也不缩短，称为中性轴。 图 7-2 最终得到正应力的计算式： a. 由几何关系可得到： 为了研究纯弯曲梁横截面上的正应力分布规律及计算，要综合考虑变形的几何关系，物理关系及静力平衡关系。 b. 由物理关系可得到： 从式（7-1）（7-2）可看出，应变和应力均是 y 的函数，分布规律为线形分布。 c. 由静力平衡关系可得到：中性轴 z 过截面的形心； 正应力的计算式为： 式（7-3）中： M—横截面上的弯矩。 y—所求正应力点处到中性轴的距离。 Iz —截面对中性轴的惯性矩 。 其分布见图7-3 图 7-3 2.正应力强度条件 正应力计算式（7-3）可推广到梁在横力作用下的弯曲，即横截面上不仅有弯矩，还有剪力的情况。也可用于其它的截面形式。梁内的最大应力发生在弯矩最大的截面，且是距中性层最远的地方。 即： 若令： （WZ称为抗弯截面模量） 式(7-4)可写作： 梁的正应力强度条件为： a. 塑性材料： b. 脆性材料： 对于塑性材料制成的梁，危险面就在 所在的截面，一般截面可设计成对称于 z 轴的截面，如矩形截面，工字型截面等。 对于脆性材料制成的梁， 和 所在的面都是危险截面，梁横截面往往设计成上、下不对称 z 轴，如T型截面梁等。 根据正应力强度条件，可解决工程中的三类问题： ⑴ 强度校核 ⑵ 截面设计 ⑶确定容许荷载 3.梁的正应力及强度计算实例 例1：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T型截面，已知材料的容许拉应力为 容许压应力 试校核梁的强度。 Z 解（一）作梁的弯矩图如图 最大正弯矩 最大负弯矩 弯矩图 (三)截面对中性轴的惯性矩 截面形心距底边 （二）确定中性轴的位置 1.拉应力强度校核 A截面为负弯矩，上部受拉 C截面为正弯矩，下部受拉 由于 ，最大拉应力发生在C截面下边缘 拉应力强度足够。 （四）校核梁的强度（绘出应力分布图） A截面 C截面 应力 分布图 应力 分布图 A截面下部受压 ： C截面上部受压 ： 由于 ，最大压应力发生在A截面的下边缘 压应力强度足够。 2．压应力强度校核 A截面 C截面 应力 分布图 应力 分布图 3．讨论 如果将此梁的截面倒放成⊥形，这时梁的最大拉应力将发生在A截面的上边缘，其值为： 这时梁的强度就不足。由此可见，对于抗拉、拉压强度不相同，截面上下又不对称于中性轴的梁，须根据梁的受力情况来合理放置梁的截面 。 二．梁的剪应力强度条件 ①假设矩形截面上剪应力 的方向和剪力Q的方向相同。 ②假设截面上剪应力 沿宽度b是均匀分布的。 导出的剪应力计算式为： 矩形截面梁的剪应力（推导略） 在推导矩形截面梁的剪应力公式时，作如下两点假设： 式（7-8）中： Q —横截面上剪力 —需求剪应力处，水平线以下（或以上）部分 面积对中性轴的静矩。 —整个横截面对中性轴的惯性矩。 b—需求剪应力处横截面宽度。 对于矩形截面，式（7-8）中，Q、 Iz 、b均为常量。因此剪应力的变化是随静矩 而变化的。静矩计算如下： 又： 代入式（7-8）可得： 图 7-4 在 处， 在 处，剪应力最大，即： 最大剪应力是平均剪应力 的 1.5倍。 从上式可知，剪应力分布是沿梁的高度按抛物线规律分布. 图 7-4 2. 工字型截面梁的剪应力 主要考虑工字型截面梁腹板上的剪应力计算。 可按照矩形截面梁的剪应力公式计算： 式中：d —腹板宽度 —图中因阴影部分面积对中性轴之静矩。 图 7-5 静矩计算如下： 图 7-5 代入剪应力公式得： 由式可知： 时， 最小； 时， 最大。 （按抛物线规律分布） 图 7-5 3. 圆形截面梁横截面上的最大剪应力 a. 圆截面：