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1 * §13–1 动量矩 §13–2 动量矩定理 §13–3 刚体定轴转动微分方程 §13–4 刚体对轴的转动惯量 §13–5 质点系相对于质心的动量矩定理 · 刚体平面运动微分方程 第十三章 动量矩定理 质点 质点系 动量定理： 动量的改变—?外力（外力系主矢） 　 若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。 §13-1　动量矩 一．质点的动量矩 质点对点O的动量矩：　　　　　　 　 矢量 质点对轴 z 的动量矩：　　　　　　　 代数量　 质心运动定理：质心的运动—?外力（外力系主矢） 质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系： 正负号规定与力对轴矩的规定相同 对着轴看：顺时针为负 　　　　　逆时针为正 二．质点系的动量矩 质系对点O动量矩： 质系对轴z 动量矩： kg·ｍ2/s。 动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。 2．定轴转动刚体 定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。 3．平面运动刚体 平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。 刚体动量矩计算： 1．平动刚体 平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。 §13-2　动量矩定理 一．质点的动量矩定理 两边叉乘矢径 , 有 左边可写成 　 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。　 故： 　将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得 上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。 称为质点的动量矩守恒。 若　 则 常矢量 运动分析： 。 由动量矩定理 即 微幅摆动时，　　　　　并令　　　　，则 解微分方程,并代入初始条件　　　　　　　 则运动方程 ，摆动周期 解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。 [例1] 单摆　已知m，l，t =0时?= ?0，从静止 开始释放。 求单摆的运动规律。 质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。　 二．质点系的动量矩定理 左边交换求和与导数运算的顺序，而 一质点系对固定点的动量矩定理 对质点系，有 对质点Mi ： 将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得 上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同 一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 质点系的动量矩守恒 　　?当　　　　时，　　常矢量。 　　?当　　　　时，　　常量。 定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。　 解: 取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。 　 运动分析： v =ｒ? 由动量矩定理： [例2] 已知: 解：　　　　　 系统的动量矩守恒。 猴A与猴B向上的绝对速度是一样的, 均为 。 [例3] 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度 上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？ 动的速度多大？（轮重不计） §13-3　刚体定轴转动微分方程 对于一个定轴转动刚体 代入质点系动量矩定理，有 —刚体定轴转动微分方程 解决两类问题： ?已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。　　　　　 ?已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。 　但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。 §13-4 刚体对轴的转动惯量 一．定义： 若刚体的质量是连续分布，则 　 刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 　 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位　kg·m2 。 　　１．积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用） [例1] 匀质细直杆长为l ,质量为m 。 求：?对z轴的转动惯量　 ； 　 　?对z 轴的转动惯量 。