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方块图和信号流图 第二章 控制系统的数学描述 21 第三节 传递函数 一、 传递函数的定义和主要性质 一、 传递函数的定义和主要性质 性质1 传递函数与微分方程之间一一对应。 一、 传递函数的定义和主要性质 例： 输入：?(t)——角度 E——恒定电压 输出：u(t)——电压 例 ：输入：n1(t)——转速 Z1——主动轮的齿数 输出：n2(t)——转速 Z2——从动轮的齿数 其它一些比例环节 2、惯性环节(又叫惰性环节) 特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输 入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。 运动方程： 传递函数： 例：积分电路 输入为r(t)，输出为c(t) 运动方程： 传递函数： （T=R1C） 4、振荡环节 特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个 储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。 运动方程： 传递函数： 式中：?——阻尼比， T——振荡环节的时间常数。 例：RLC电路 5、纯微分环节 例 RC电路  设：输入——ur(t) 输出——uc(t) 消去i(t)，得到运动方程： 传递函数： （Tc=RC） 当Tc1时，又可表示成： 6、一阶微分环节 特 点：此环节的输出量不仅与输入量本身 有关，而且与输入量的变化率有关 运动方程： 传递函数： G( s ) = Ts + 1 RC电路 7、二阶微分环节 特点：输出与输入及输入的一阶、二阶导数都有关 运动方程： 传递函数： 可以看出，二阶微分环节的传递函数是 振荡环节的倒数。 8、延迟环节（时滞、滞后） 特点：c(t)完全复现r(t)，但滞后一个固定时间 自动控制原理 autocumt@126.com 对微分方程进行拉普拉斯变换，可以将时域内的微分方程变成域内的代数方程，为方程的求解带来方便。 通过拉氏变换，可以得到线性系统或元件在 S 域内的数学模型-——传递函数。 传递函数在 S 域内把系统的输入量与输出量之间的关系、信号的传递和变换表示得更加简单明了。 定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系 统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述： 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。 设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为： 一、 传递函数的定义和主要性质 图2.1 R-L-C电路 例2.12 该电路的微分方程为 在零初始条件下对上式取拉氏变换得 其传递函数为 图2.3 弹簧-质量-阻尼器系统 例2.13 该系统的微分方程为 零初始条件下取拉氏变换得到 其传递函数为 性质2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量 的形式（幅度与大小）无关。 性质3 G(s) 与输入信号的作用位置与输出信号的取出位置 有关。 如果将 置换 性质4 传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n， 且所具有复变量函数的所有性质。（物理可实现） 传递函数的零点和极点是实数或共轭复数。 一、 传递函数的定义和主要性质 性质6 令传递函数的分母多项式等于零所得到的方程称为 系统的特征方程，即N(s)=0，特征方程的根就是传 递函数的极点 性质5