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工程力学A(4) 材料力学（Ⅰ） 第 7 章 弯曲变形 第 7 章 弯曲变形 §1 引言 §2 梁变形基本方程 §3 计算梁位移的积分法 §4 计算梁位移的奇异函数法 §5 计算梁位移的叠加法 §6 简单静不定梁 §7 梁的刚度条件与合理设计 §1 引言—梁变形的描述 ? 弯曲变形特点 ? 挠度与转角 弯曲变形特点 挠度与转角—梁位移 挠度与转角—梁位移 梁微段dx变形 §2 梁变形基本方程 ? 挠曲轴微分方程 ? 挠曲轴近似微分方程 ? 挠曲轴的大致形状 ? 挠曲轴微分方程 ? 挠曲轴近似微分方程 ? 位移边界条件与连续条件 挠曲轴大致形状的绘制 ——直观变形分析 §3 计算梁位移的积分法 ? 挠曲轴微分方程的积分 与边界条件 ? 积分法求梁位移 ? 例题 ? 近似微分方程的积分与边界条件 ? 积分法求梁位移 解： 由整体平衡得 FAx=0， FAy= Pb/l FBy= Pa/l 从而，截面的弯矩为 得 由边界条件 和连续性条件 得梁的挠曲线方程为 梁的最大转角： 梁的最大挠度: 梁的最大挠度发生在w′= 0处 从而，梁的最大挠度为 因此，可用梁的中点挠度代替梁的最大挠度。 对于简支梁，不论受（F, q）作用，只要挠曲轴上无拐点（朝一个方向弯曲）,其最大挠度值可以用梁中点处的挠度值代替，即 §5 计算梁位移的叠加法 ? 叠加法 ? 逐段分析求和法 ? 例题 ? 叠加法 ? 逐段分析求和法——分段变形叠加 ? 叠加法的应用 §6 简单静不定梁 ? 静不定度与多余约束 ? 简单静不定梁分析方法 ? 例题 ? 静不定度与多余约束 ? 简单静不定梁分析方法 §7 梁的刚度条件与合理设计 ? 梁的刚度条件 ? 梁的合理刚度设计 ? 例题 ? 梁的刚度条件 ? 梁的合理刚度设计 作业： 第3版 7-3(a)(c) 7-10(b)(c) 7-11 7-14(a) 7-19(b) 作业： 第2版 7-2(a)(c) 7-8(b)(c) 7-10 7-12 7-18(b) 其精确度能满足工程计算的要求。 方 法 当梁上同时作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和 分解载荷 分别计算位移 ? 求位移之和 ? 问题 理论依据 上述线性微分方程的解，为下列微分方程解的组合 （小变形,比例极限内） （小变形） 叠加法适用范围：小变形 ，比例极限内 叠加原理 ? 分解梁 ? 分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移 ? 求位移之和（代数和或矢量和） 例：外伸梁 EI=const常数 求: wA 刚化AB段 C B q A l a 刚化BC段 C B q A A C B q F=qa C B q A Solution II:两段分 典型梁的基本变形 任意梁的变形 载荷叠加 分段变形叠加 加附加载荷 简支梁、悬臂梁 三种典型载荷 例 5-1 q(x)=q0cos(px/2l)，利用叠加法求 wB=? 解： (?) (?) 例 5-2 解： 例 5-3 求自由端位移d 挠曲轴与外力作用面不重合 一般情况 解： A C B q B A C q/2 A C q/2 例5-4：利用对称性求下面梁中点挠度与转角 ( 2a = l ) 反对称, 挠度为0 (弯矩为0, 拐点) 对称, 转角为0 A C q/2 反对称, 挠度为0 (弯矩为0, 拐点) C q/2 例5-5：E常数, ， ,求 P A B C 刚化AB段： 仅考虑BC段变形： 仅考虑AB段变形： BC段刚化： A B C A B C P AB段的变形： 仅考虑BC段变形： 例: 求 A B 组合梁的变形分析 A q C B 多余约束 凡是多于维持平衡所必须的约束 多余反力 与多余约束相应的支反力或支反力偶矩 静不定度 ＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数 静不定度＝多余约束数 4-3=1 度 静不定 5-3 = 2 度 静不定 选 Fby 为多余力 －变形协调条件 －物理方程 －补充方程 －平衡方程 一度静不定 算例 综合考虑三方面 求梁的支反力 ? 判断梁的静不定度 ? 用多余力 代替多余约束的作用，得受力与原静不定梁相同的静定梁－所谓相当系统 ? 计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程 ? 由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力 相当系统 ? 通过相当系统计算内力、位移与应力等 求解依据－综合考虑三方面 求解关键－确定多余支反力 分析方法与步骤 相当系统 例